康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线(rev#2)

我看到了它,却不敢相信它[1]

——康托尔

计算机是数学家一次失败思考的产物。

——无名氏

哥德尔不完备性定理震撼了20世纪数学界的天空,其数学意义颠覆了希尔伯特的形式化数学的宏伟计划,其哲学意义直到21世纪的今天仍然不断被延伸到各个自然学科,深刻影响着人们的思维。图灵为了解决希尔伯特著名的第十问题而提出有效计算模型,进而作出了可计算理论和现代计算机的奠基性工作,著名的停机问题给出了机械计算模型的能力极限,其深刻的意义和漂亮的证明使它成为可计算理论中的标志性定理之一。丘齐,跟图灵同时代的天才,则从另一个抽象角度提出了lambda算子的思想,与图灵机抽象的倾向于硬件性不同,丘齐的lambda算子理论是从数学的角度进行抽象,不关心运算的机械过程而只关心运算的抽象性质,只用最简洁的几条公理便建立起了与图灵机完全等价的计算模型,其体现出来的数学抽象美开出了函数式编程语言这朵奇葩,LispSchemeHaskell… 这些以抽象性和简洁美为特点的语言至今仍然活跃在计算机科学界,虽然由于其本质上源于lambda算子理论的抽象方式不符合人的思维习惯从而注定无法成为主流的编程语言[2],然而这仍然无法妨碍它们成为编程理论乃至计算机学科的最佳教本。而诞生于函数式编程语言的神奇的Y combinator至今仍然让人们陷入深沉的震撼和反思当中…

然而,这一切的一切,看似不很相关却又有点相关,认真思考其关系却又有点一头雾水的背后,其实隐隐藏着一条线,这条线把它们从本质上串到了一起,而顺着时光的河流逆流而上,我们将会看到,这条线的尽头,不是别人,正是只手拨开被不严密性问题困扰的19世纪数学界阴沉天空的天才数学家康托尔,康托尔创造性地将一一对应和对角线方法运用到无穷集合理论的建立当中,这个被希尔伯特称为“谁也无法将我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”、被罗素称为“19世纪最伟大的智者之一”的人,他在集合论方面的工作终于驱散了不严密性问题带来的阴霾,仿佛一道金色的阳光刺破乌云,19世纪的数学终于看到了真正严格化的曙光,数学终于得以站在了前所未有的坚固的基础之上;集合论至今仍是数学里最基础和最重要的理论之一。而康托尔当初在研究无穷集合时最具天才的方法之一——对角线方法——则带来了极其深远的影响,其纯粹而直指事物本质的思想如洪钟大吕般响彻数学和哲学的每一个角落[3]。随着本文的展开,你将会看到,刚才提到的一切,歌德尔的不完备性定理,图灵的停机问题,lambda算子理论中神奇的Y combinator、乃至著名的罗素悖论、理发师悖论等等,其实都源自这个简洁、纯粹而同时又是最优美的数学方法,反过来说,从康托尔的对角线方法出发,我们可以轻而易举地推导出哥德尔的不完备性定理,而由后者又可以轻易导出停机问题和Y combinator,实际上,我们将会看到,后两者也可以直接由康托尔的对角线方法导出。尤其是Y combinator,这个形式上绕来绕去,本质上捉摸不透,看上去神秘莫测的算子,其实只是一个非常自然而然的推论,如果从哥德尔的不完备性定理出发,它甚至比停机问题还要来得直接简单。总之,你将会看到这些看似深奥的理论是如何由一个至为简单而又至为深刻的数学方法得出的,你将会看到最纯粹的数学美。

图灵的停机问题(The Halting Problem)

了解停机问题的可以直接跳过这一节,到下一节“Y Combinator”,了解后者的再跳到下一节“哥德尔的不完备性定理”

我们还是从图灵著名的停机问题说起,一来它相对来说是我们要说的几个定理当中最简单的,二来它也最贴近程序员。实际上,我以前曾写过一篇关于图灵机的文章,有兴趣的读者可以从那篇开始,那篇主要是从理论上阐述,所以这里我们打算避开抽象的理论,换一种符合程序员思维习惯的直观方式来加以解释。

停机问题

不存在这样一个程序(算法),它能够计算任何程序(算法)在给定输入上是否会结束(停机)。

那么,如何来证明这个停机问题呢?反证。假设我们某一天真做出了这么一个极度聪明的万能算法(就叫God_algo吧),你只要给它一段程序(二进制描述),再给它这段程序的输入,它就能告诉你这段程序在这个输入上会不会结束(停机),我们来编写一下我们的这个算法吧:

bool God_algo(char* program, char* input)

{

if(<program> halts on <input>)

return true;

return false;

}

这里我们假设if的判断语句里面是你天才思考的结晶,它能够像上帝一样洞察一切程序的宿命。现在,我们从这个God_algo出发导出一个新的算法:

bool Satan_algo(char* program)

{

if( God_algo(program, program) ){

while(1); // loop forever!

return false; // can never get here!

}

else

return true;

}

正如它的名字所暗示的那样,这个算法便是一切邪恶的根源了。当我们把这个算法运用到它自身身上时,会发生什么呢?

Satan_algo(Satan_algo);

我们来分析一下这行简单的调用:

显然,Satan_algo(Satan_algo)这个调用要么能够运行结束返回(停机),要么不能返回(loop forever)。

如果它能够结束,那么Santa_algo算法里面的那个if判断就会成立(因为God_algo(Santa_algo,Santa_algo)将会返回true),从而程序便进入那个包含一个无穷循环while(1);的if分支,于是这个Satan_algo(Satan_algo)调用便永远不会返回(结束)了

如果Satan_algo(Satan_algo)不能结束(停机)呢,则if判断就会失败,从而选择另一个if分支并返回true,即Satan_algo(Satan_algo)能够返回(停机)

总之,我们有:

Satan_algo(Satan_algo)能够停机 => 它不能停机

Satan_algo(Satan_algo)不能停机 => 它能够停机

所以它停也不是,不停也不是。左右矛盾。

于是,我们的假设,即God_algo算法的存在性,便不成立了。正如拉格朗日所说:“陛下,我们不需要(上帝)这个假设”[4]

这个证明相信每个程序员都能够容易的看懂。然而,这个看似不可捉摸的技巧背后其实隐藏着深刻的数学原理(甚至是哲学原理)。在没有认识到这一数学原理之前,至少我当时是对于图灵如何想出这一绝妙证明感到无法理解。但后面,在介绍完了与图灵的停机问题“同构”的Y combinator之后,我们会深入哥德尔的不完备性定理,在理解了哥德尔不完备性定理之后,我们从这一同样绝妙的定理出发,就会突然发现,离停机问题和神奇的Y combinator只是咫尺之遥而已。当然,最后我们会回溯到一切的尽头,康托尔那里,看看停机问题、Y combinator、以及不完备性定理是如何自然而然地由康托尔的对角线方法推导出来的,我们将会看到这些看似神奇的构造性证明的背后,其实是一个简洁优美的数学方法在起作用。

Y Combinator

了解Y combinator的请直接跳过这一节,到下一节哥德尔的不完备性定理

让我们暂且搁下但记住绕人的图灵停机问题,走进函数式编程语言的世界,走进由跟图灵机理论等价的lambda算子发展出来的另一个平行的语言世界。让我们来看一看被人们一代一代吟唱着的神奇的Y Combinator…

关于Y Combinator的文章可谓数不胜数,这个由师从希尔伯特的著名逻辑学家Haskell B.Curry(Haskell语言就是以他命名的,而函数式编程语言里面的Curry手法也是以他命名)“发明”出来的组合算子(Haskell是研究组合逻辑(combinatory logic)的)仿佛有种神奇的魔力,它能够算出给定lambda表达式(函数)的不动点。从而使得递归成为可能。事实上,我们待会就会看到,Y Combinator在神奇的表面之下,其实隐藏着深刻的意义,其背后体现的意义,曾经开出过历史上最灿烂的数学之花,所以MIT的计算机科学系将它做成系徽也就不足为奇了[5]

当然,要了解这个神奇的算子,我们需要一点点lambda算子理论的基础知识,不过别担心,lambda算子理论是我目前见过的最简洁的公理系统,这个系统仅仅由三条非常简单的公理构成,而这三条公理里面我们又只需要关注前两条。

以下小节——lambda calculus——纯粹是为了没有接触过lambda算子理论的读者准备的,并不属于本文重点讨论的东西,然而要讨论Y combinator就必须先了解一下lambda(当然,以编程语言来了解也行,但是你会看到,丘齐最初提出的lambda算子理论才是最最简洁和漂亮的,学起来也最省事。)所以我单独准备了一个小节来介绍它。如果你已经知道,可以跳过这一小节。不知道的读者也可以跳过这一小节去wikipedia上面看,这里的介绍使用了wikipedia上的方式

lambda calculus

先来看一下lambda表达式的基本语法(BNF):

<expr> ::= <identifier>

<expr> ::= lambda <identifier-list>. <expr>

<expr> ::= (<expr> <expr>)

前两条语法用于生成lambda表达式(lambda函数),如:

lambda x y. x + y

haskell里面为了简洁起见用“\”来代替希腊字母lambda,它们形状比较相似。故而上面的定义也可以写成:

\ x y. x + y

这是一个匿名的加法函数,它接受两个参数,返回两值相加的结果。当然,这里我们为了方便起见赋予了lambda函数直观的计算意义,而实际上lambda calculus里面一切都只不过是文本替换,有点像C语言的宏。并且这里的“+”我们假设已经是一个具有原子语义的运算符[6],此外,为了方便我们使用了中缀表达(按照lambda calculus系统的语法实际上应该写成“(+ x y)”才对——参考第三条语法)。

那么,函数定义出来了,怎么使用呢?最后一条规则就是用来调用一个lambda函数的:

((lambda x y. x + y) 2 3)

以上这一行就是把刚才定义的加法函数运用到2和3上(这个调用语法形式跟命令式语言(imperative language)惯用的调用形式有点区别,后者是“f(x, y)”,而这里是“(f x y)”,不过好在顺序没变:) )。为了表达简洁一点,我们可以给(lambda x y. x + y)起一个名字,像这样:

let Add = (lambda x y. x + y)

这样我们便可以使用Add来表示该lambda函数了:

(Add 2 3)

不过还是为了方便起见,后面调用的时候一般用“Add(2, 3)”,即我们熟悉的形式。

有了语法规则之后,我们便可以看一看这个语言系统的两条简单至极的公理了:

Alpha转换公理:例如,“lambda x y. x + y”转换为“lambda a b. a + b”。换句话说,函数的参数起什么名字没有关系,可以随意替换,只要函数体里面对参数的使用的地方也同时注意相应替换掉就是了。

Beta转换公理:例如,“(lambda x y. x + y) 2 3”转换为“2 + 3”。这个就更简单了,也就是说,当把一个lambda函数用到参数身上时,只需用实际的参数来替换掉其函数体中的相应变量即可。

就这些。是不是感觉有点太简单了?但事实就是如此,lambda算子系统从根本上其实就这些东西,然而你却能够从这几个简单的规则中推演出神奇无比的Y combinator来。我们这就开始!

递归的迷思

敏锐的你可能会发现,就以上这两条公理,我们的lambda语言中无法表示递归函数,为什么呢?假设我们要计算经典的阶乘,递归描述肯定像这样:

f(n):

if n == 0 return 1

return n*f(n-1)

当然,上面这个程序是假定n为正整数。这个程序显示了一个特点,f在定义的过程中用到了它自身。那么如何在lambda算子系统中表达这一函数呢?理所当然的想法如下:

lambda n. If_Else n==0 1 n*<self>(n-1)

当然,上面的程序假定了If_Else是一个已经定义好的三元操作符(你可以想象C的“?:”操作符,后面跟的三个参数分别是判断条件、成功后求值的表达式、失败后求值的表达式。那么很显然,这个定义里面有一个地方没法解决,那就是<self>那个地方我们应该填入什么呢?很显然,熟悉C这类命令式语言的人都知道应该填入这个函数本身的名字,然而lambda算子系统里面的lambda表达式(或称函数)是没有名字的。

怎么办?难道就没有办法实现递归了?或者说,丘齐做出的这个lambda算子系统里面根本没法实现递归从而在计算能力上面有重大的缺陷?显然不是。马上你就会看到Y combinator是如何把一个看上去非递归的lambda表达式像变魔术那样变成一个递归版本的。在成功之前我们再失败一次,注意下面的尝试:

let F = lambda n. IF_Else n==0 1 n*F(n-1)

看上去不错,是吗?可惜还是不行。因为let F只是起到一个语法糖的作用,在它所代表的lambda表达式还没有完全定义出来之前你是不可以使用F这个名字的。更何况实际上丘齐当初的lambda算子系统里面也并没有这个语法元素,这只是刚才为了简化代码而引入的语法糖。当然,了解这个let语句还是有意义的,后面还会用到。

一次成功的尝试

在上面几次失败的尝试之后,我们是不是就一筹莫展了呢?别忘了软件工程里面的一条黄金定律:“任何问题都可以通过增加一个间接层来解决”。不妨把它沿用到我们面临的递归问题上:没错,我们的确没办法在一个lambda函数的定义里面直接(按名字)来调用其自身。但是,可不可以间接调用呢?

我们回顾一下刚才不成功的定义:

lambda n. If_Else n==0 1 n*<self>(n-1)

现在<self>处不是缺少“这个函数自身”嘛,既然不能直接填入“这个函数自身”,我们可以增加一个参数,也就是说,把<self>参数化:

lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)

上面这个lambda算子总是合法定义了吧。现在,我们调用这个函数的时候,只要加传一个参数self,这个参数不是别人,正是这个函数自身。还是为了简单起见,我们用let语句来给上面这个函数起个别名:

let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)

我们这样调用,比如说我们要计算3的阶乘:

P(P, 3)

也就是说,把P自己作为P的第一个参数(注意,调用的时候P已经定义完毕了,所以我们当然可以使用它的名字了)。这样一来,P里面的self处不就等于是P本身了吗?自身调用自身,递归!

可惜这只是个美好的设想,还差一点点。我们分析一下P(P, 3)这个调用。利用前面讲的Beta转换规则,这个函数调用展开其实就是(你可以完全把P当成一个宏来进行展开!):

IF_Else n==0 1 n*P(n-1)

看出问题了吗?这里的P(n-1)虽然调用到了P,然而只给出了一个参数;而从P的定义来看,它是需要两个参数的(分别为self和n)!也就是说,为了让P(n-1)变成良好的调用,我们得加一个参数才行,所以我们得稍微修改一下P的定义:

let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(self, n-1)

请注意,我们在P的函数体内调用self的时候增加了一个参数。现在当我们调用P(P, 3)的时候,展开就变成了:

IF_Else 3==0 1 3*P(P, 3-1)

P(P, 3-1)是对P合法的递归调用。这次我们真的成功了!

不动点原理

然而,看看我们的P的定义,是不是很丑陋?“n*self(self, n-1)”?什么玩意?为什么要多出一个多余的self?DRY!怎么办呢?我们想起我们一开始定义的那个失败的P,虽然行不通,但最初的努力往往是大脑最先想到的最直观的做法,我们来回顾一下:

let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)

这个P的函数体就非常清晰,没有冗余成分,虽然参数列表里面多出一个self,但我们其实根本不用管它,看函数体就行了,self这个名字已经可以说明一切了对不对?但很可惜这个函数不能用。我们再来回想一下为什么不能用呢?因为当你调用P(P, n)的时候,里面的self(n-1)会展开为P(n-1)而P是需要两个参数的。唉,要是这里的self是一个“真正”的,只需要一个参数的递归阶乘函数,那该多好啊。为什么不呢?干脆我们假设出一个“真正”的递归阶乘函数:

power(n):

if(n==0) return 1;

return n*power(n-1);

但是,前面不是说过了,这个理想的版本无法在lambda算子系统中定义出来吗(由于lambda函数都是没名字的,无法自己内部调用自己)?不急,我们并不需要它被定义出来,我们只需要在头脑中“假设”它以“某种”方式被定义出来了,现在我们把这个真正完美的power传给P,这样:

P(power, 3)

注意它跟P(P, 3)的不同,P(P, 3)我们传递的是一个有缺陷的P为参数。而P(power, 3)我们则是传递的一个真正的递归函数power。我们试着展开P(power, 3):

IF_Else 3==0 1 3*power(3-1)

发生了什么??power(3-1)将会计算出2的阶乘(别忘了,power是我们设想的完美递归函数),所以这个式子将会忠实地计算出3的阶乘!

回想一下我们是怎么完成这项任务的:我们设想了一个以某种方式构造出来的完美的能够内部自己调用自己的递归阶乘函数power,我们发现把这个power传给P的话,P(power, n)的展开式就是真正的递归计算n阶乘的代码了。

你可能要说:废话!都有了power了我们还要费那事把它传给P来个P(power, n)干嘛?直接power(n)不就得了?! 别急,之所以设想出这个power只是为了引入不动点的概念,而不动点的概念将会带领我们发现Y combinator。

什么是不动点?一点都不神秘。让我们考虑刚才的power与P之间的关系。一个是真正可递归的函数,一个呢,则是以一个额外的self参数来试图实现递归的伪递归函数,我们已经看到了把power交给P为参数发生了什么,对吧?不,似乎还没有,我们只是看到了,“把power加上一个n一起交给P为参数”能够实现真正的递归。现在我们想考虑power跟P之间的关系,直接把power交给P如何?

P(power)

这是什么?这叫函数的部分求值(partial evaluation)。换句话说,第一个参数是给出来了,但第二个参数还悬在那里,等待给出。那么,光给一个参数得到的是什么呢?是“还剩一个参数待给的一个新的函数”。其实也很简单,只要按照Beta转换规则做就是了,把P的函数体里面的self出现处皆替换为power就可以了。我们得到:

IF_Else n==0 1 n*power(n-1)

当然,这个式子里面还有一个变量没有绑定,那就是n,所以这个式子还不能求值,你需要给它一个n才能具体求值,对吧。这么说,这可不就是一个以n为参数的函数么?实际上就是的。在lambda算子系统里面,如果给一个lambda函数的参数不足,则得到的就是一个新的lambda函数,这个新的lambda函数所接受的参数也就是你尚未给出的那些参数。换句话来说,调用一个lambda函数可以分若干步来进行,每次只给出一部分参数,而只有等所有参数都给齐了,函数的求值结果才能出来,否则你得到的就是一个“中间函数”。

那么,这跟不动点定理有什么关系?关系大了,刚才不是说了,P(power)返回的是一个新的“中间函数”嘛?这个“中间函数”的函数体我们刚才已经看到了,就是简单地展开P(power)而已,回顾一遍:

IF_Else n==0 1 n*power(n-1)

我们已经知道,这是个函数,参数n待定。因此我们不妨给它加上一个“lambda n”的帽子,这样好看一点:

lambda n. IF_Else n==0 1 n*power(n-1)

这是什么呢?这可不就是power本身的定义?(当然,如果我们能够定义power的话)。不信我们看看power如果能够定义出来像什么样子:

let power = lambda n. IF_Else n==0 1 n*power(n-1)

一模一样!也就是说,P(power)展开后跟power是一样的。即:

P(power) = power

以上就是所谓的不动点。即对于函数P来说power是这样一个“点”:当把P用到power身上的时候,得到的结果仍然还是power,也就是说,power这个“点”在P的作用下是“不动”的。

可惜的是,这一切居然都是建立在一个不存在的power的基础上的,又有什么用呢?可别过早提“不存在”这个词,你觉得一样东西不存在或许只是你没有找到使它存在的正确方法。我们已经看到power是跟P有着密切联系的。密切到什么程度呢?对于伪递归的P,存在一个power,满足P(power)=power。注意,这里所说的“伪递归”的P,是指这样的形式:

let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1) // 注意,不是self(self,n-1)

一般化的描述就是,对任一伪递归F(回想一下伪递归的F如何得到——是我们为了解决lambda函数不能引用自身的问题,于是给理想的f加一个self参数从而得到的),必存在一个理想f(F就是从这个理想f演变而来的),满足F(f) = f。

那么,现在的问题就归结为如何针对F找到它的f了。根据F和f之间的密切联系(F就比f多出一个self参数而已),我们可以从F得出f吗?假设我们可以(又是假设),也就是说假设我们找到了一根魔棒,把它朝任意一个伪递归的F一挥,眼前一花,它就变成了真正的f了。这根魔棒如果存在的话,它具有什么性质?我们假设这个神奇的函数叫做Y,把Y用到任何伪递归的函数F上就能够得到真正的f,也就是说:

Y(F) = f

结合上面的F(f) = f,我们得到:

Y(F) = f = F(f) = F(Y(F))

也就是说,Y具有性质:

Y(F) = F(Y(F))

性质倒是找出来了,怎么构造出这个Y却又成了难题。一个办法就是使用抽象法,这是从工程学的思想的角度,也就是通过不断迭代、重构,最终找到问题的解。然而对于这里的Y combinator,接近问题解的过程却显得复杂而费力,甚至过程中的有些点上的思维跳跃有点如羚羊挂角无迹可寻。然而,在这整个Y combinator介绍完了之后我们将会介绍著名的哥德尔不完备性定理,然后我们就会发现,通过哥德尔不完备性定理证明中的一个核心构造式,只需一步自然的推导就能得出我们的Y combinator。而且,最美妙的是,还可以再往下归约,把一切都归约到康托尔当初提出的对角线方法,到那时我们就会发现原来同样如羚羊挂角般的哥德尔的证明其实是对角线方法的一个自然推论。数学竟是如此奇妙,我们由简单得无法再简单的lambda calculus系统的两条公理居然能够导出如此复杂如此令人目眩神迷的Y Combinator,而这些复杂性其实也只是荡漾在定理海洋中的涟漪,拨开复杂性的迷雾我们重又发现它们居然寓于极度的简洁之中。这就是数学之美。

让我们先来看一看Y combinator的费力而复杂的工程学构造法,我会尽量让这个过程显得自然而流畅[7]

我们再次回顾一下那个伪递归的求阶乘函数:

let P = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)

我们的目标是找出P的不动点power,根据不动点的性质,只要把power传给P,即P(power),便能够得到真正的递归函数了。

现在,关键的地方到了,由于:

power = P(power) // 不动点原理

这就意味着,power作为一个函数(lambda calculus里面一切都是函数),它是自己调用了自己的。那么,我们如何实现这样一个能够自己调用自己的power呢?回顾我们当初成功的一次尝试,要实现递归,我们是通过增加一个间接层来进行的:

let power_gen = lambda self. P(self(self))

还记得self(self)这个形式吗?我们在成功实现出求阶乘递归函数的时候不就是这么做的?那么对于现在这个power_gen,怎么递归调用?

power_gen(power_gen)

不明白的话可以回顾一下前面我们调用P(P, n)的地方。这里power_gen(power_gen)展开后得到的是什么呢?我们根据刚才power_gen的定义展开看一看,原来是:

P(power_gen(power_gen))

看到了吗?也就是说:

power_gen(power_gen) => P(power_gen(power_gen))

现在,我们把power_gen(power_gen)当成整体看,不妨令为power,就看得更清楚了:

power => P(power)

这不正是我们要的答案么?

OK,我们总结一下:对于给定的P,只要构造出一个相应的power_gen如下:

let power_gen = lambda self. P(self(self))

我们就会发现,power_gen(power_gen)这个调用展开后正是P(power_gen(power_gen))。也就是说,我们的power_gen(power_gen)就是我们苦苦寻找的不动点了!

铸造Y Combinator

现在我们终于可以铸造我们的Y Combinator了,Y Combinator只要生成一个形如power_gen的lambda函数然后把它应用到自身,就大功告成:

let Y = lambda F.

let f_gen = lambda self. F(self(self))

return f_gen(f_gen)

稍微解释一下,Y是一个lambda函数,它接受一个伪递归F,在内部生成一个f_gen(还记得我们刚才看到的power_gen吧),然后把f_gen应用到它自身(记得power_gen(power_gen)吧),得到的这个f_gen(f_gen)也就是F的不动点了(因为f_gen(f_gen) = F(f_gen(f_gen))),而根据不动点的性质,F的不动点也就是那个对应于F的真正的递归函数!

如果你还觉得不相信,我们稍微展开一下看看,还是拿阶乘函数说事,首先我们定义阶乘函数的伪递归版本:

let Pwr = lambda self n. If_Else n==0 1 n*self(n-1)

让我们把这个Pwr交给Y,看会发生什么(根据刚才Y的定义展开吧):

Y(Pwr) =>

let f_gen = lambda self. Pwr(self(self))

return f_gen(f_gen)

Y(Pwr)的求值结果就是里面返回的那个f_gen(f_gen),我们再根据f_gen的定义展开f_gen(f_gen),得到:

Pwr(f_gen(f_gen))

也就是说:

Y(Pwr) => f_gen(f_gen) => Pwr(f_gen(f_gen))

我们来看看得到的这个Pwr(f_gen(f_gen))到底是不是真有递归的魔力。我们展开它(注意,因为Pwr需要两个参数,而我们这里只给出了一个,所以Pwr(f_gen(f_gen))得到的是一个单参(即n)的函数):

Pwr(f_gen(f_gen)) => If_Else n==0 1 n*f_gen(f_gen) (n-1)

而里面的那个f_gen(f_gen),根据f_gen的定义,又会展开为Pwr(f_gen(f_gen)),所以:

Pwr(f_gen(f_gen)) => If_Else n==0 1 n* Pwr(f_gen(f_gen)) (n-1)

看到加粗的部分了吗?因为Pwr(f_gen(f_gen))是一个接受n为参数的函数,所以不妨把它令成f(f的参数是n),这样上面的式子就是:

f => If_Else n==0 1 n*f(n-1)

完美的阶乘函数!

哥德尔的不完备性定理

了解哥德尔不完备性定理的可以跳到下一节,大道至简——康托尔的天才

然而,漫长的Y Combinator征途仍然并非本文的最终目的,对于Y combinator的构造和解释,只是给不了解lambda calculus或Y combinator的读者看的。关键是马上你会看到Y combinator可以由哥德尔不完备性定理证明的一个核心构造式一眼瞧出来!

让我们的思绪回到1931年,那个数学界风起云涌的年代,一个名不经传的20出头的学生,在他的博士论文中证明了一个惊天动地的结论。

在那个年代,希尔伯特的数学天才就像太阳的光芒一般夺目,在关于数学严格化的大纷争中希尔伯特带领的形式主义派系技压群雄,得到许多当时有名望的数学家的支持。希尔伯特希望借助于形式化的手段,抽掉数学证明中的意义,把数学证明抽象成一堆无意义的符号转换,就连我们人类赖以自豪的逻辑推导,也不过只是一堆堆符号转换而已(想起lambda calculus系统了吧:))。这样一来,一个我们日常所谓的,带有直观意义和解释的数学系统就变成了一个纯粹由无意义符号表达的、公理加上推导规则所构成的形式系统,而数学证明呢,只不过是在这个系统内玩的一个文字游戏。令人惊讶的是,这样一种做法,真的是可行的!数学的意义,似乎竟然真的可以被抽掉!另一方面,一个形式系统具有非常好的性质,平时人们证明一个定理所动用的推导,变成了纯粹机械的符号变换。希尔伯特希望能够证明,在任一个无矛盾的形式系统中所能表达的所有陈述都要么能够证明要么能够证伪。这看起来是个非常直观的结论,因为一个结论要么是真要么是假,而它在它所处的领域/系统中当然应该能够证明或证伪了(只要我们能够揭示出该系统中足够多的真理)。

然而,哥德尔的证明无情的击碎了这一企图,哥德尔的证明揭示出,任何足够强到蕴含了皮亚诺算术系统(PA)的一致(即无矛盾)的系统都是不完备的,所谓不完备也就是说在系统内存在一个为真但无法在系统内推导出的命题。这在当时的数学界揭起了轩然大波,其证明不仅具有数学意义,而且蕴含了深刻的哲学意义。从那时起这一不完备性定理就被引申到自然科学乃至人文科学的各个角落…至今还没有任何一个数学定理居然能够产生这么广泛而深远的影响。

哥德尔的证明非常的长,达到了200多页纸,但其中很大的成分是用在了一些辅助性的工作上面,比如占据超过1/3纸张的是关于一个形式系统如何映射到自然数,也就是说,如何把一个形式系统中的所有公式都表示为自然数,并可以从一自然数反过来得出相应的公式。这其实就是编码,在我们现在看来是很显然的,因为一个程序就可以被编码成二进制数,反过来也可以解码。但是在当时这是一个全新的思想,也是最关键的辅助性工作之一,另一方面,这正是“程序即数据”的最初想法。

现在我们知道,要证明哥德尔的不完备性定理,只需在假定的形式系统T内表达出一个为真但无法在T内推导出(证明)的命题。于是哥德尔构造了这样一个命题,用自然语言表达就是:命题P说的是“P不可在系统T内证明”(这里的系统T当然就是我们的命题P所处的形式系统了),也就是说“我不可以被证明”,跟著名的说谎者悖论非常相似,只是把“说谎”改成了“不可以被证明”。我们注意到,一旦这个命题能够在T内表达出来,我们就可以得出“P为真但无法在T内推导出来”的结论,从而证明T的不完备性。为什么呢?我们假设T可以证明出P,而因为P说的就是P不可在系统T内证明,于是我们又得到T无法证明出P,矛盾产生,说明我们的假设“T可以证明P”是错误的,根据排中律,我们得到T不可以证明P,而由于P说的正是“T不可证明P”,所以P就成了一个正确的命题,同时无法由T内证明!

如果你足够敏锐,你会发现上面这番推理本身不就是证明吗?其证明的结果不就是P是正确的?然而实际上这番证明是位于T系统之外的,它用到了一个关于T系统的假设“T是一致(无矛盾)的”,这个假设并非T系统里面的内容,所以我们刚才其实是在T系统之外推导出了P是正确的,这跟P不能在T推导出来并不矛盾。所以别担心,一切都正常。

那么,剩下来最关键的问题就是如何用形式语言在T内表达出这个P,上面的理论虽然漂亮,但若是P根本没法在T内表达出来,我们又如何能证明“T内存在这个为真但无法被证明的P”呢?那一切还不是白搭?

于是,就有了哥德尔证明里面最核心的构造,哥德尔构造了这样一个公式:

N(n) is unprovable in T

这个公式由两部分构成,n是这个公式的自由变量,它是一个自然数,一旦给定,那么这个公式就变成一个明确的命题。而N则是从n解码出的货真价实的(即我们常见的符号形式的)公式(记得哥德尔的证明第一部分就是把公式编码吗?)。”is unprovable in T”则是一个谓词,这里我们没有用形式语言而是用自然语言表达出来的,但哥德尔证明了它是可以用形式语言表达出来的,大致思路就是:一个形式系统中的符号数目是有限的,它们构成这个形式系统的符号表。于是,我们可以依次枚举出所有长度为1的串,长度为2的串,长度为3的串… 此外根据形式系统给出的语法规则,我们可以检查每个串是否是良构的公式(well formed formula,简称wff,其实也就是说,是否符合语法规则,前面我们在介绍lambda calculus的时候看到了,一个形式系统是需要语法规则的,比如逻辑语言形式化之后我们就会看到P->Q是一个wff,而->PQ则不是),因而我们就可以枚举出所有的wff来。最关键的是,我们观察到形式系统中的证明也不过就是由一个个的wff构成的序列(想想推导的过程,不就是一个公式接一个公式嘛)。而wff构成的序列本身同样也是由符号表内的符号构成的串。所以我们只需枚举所有的串,对每一个串检查它是否是一个由wff构成的序列(证明),如果是,则记录下这个wff序列(证明)的最后一个wff,也就是它的结论。这样我们便枚举出了所有的可由T推导出的定理。然后为了表达出”X is unprovable in T”,本质上我们只需说“不存在这样一个自然数S,它所解码出来的wff序列以X为终结”!这也就是说,我们表达出了“is unprovable in T”这个谓词。

我们用UnPr(X)来表达“X is unprovable in T”,于是哥德尔的公式变成了:

UnPr( N(n) )

现在,到了最关键的部分,首先我们把这个公式简记为G(n)——别忘了G内有一个自由变量n,所以G现在还不是一个命题,而只是一个公式,所以谈不上真假:

G(n): UnPr( N(n) )

又由于G也是个wff,所以它也有自己的编码g,当然g是一个自然数,现在我们把g作为G的参数,也就是说,把G里面的自由变量n替换为g,我们于是得到一个真正的命题:

G(g): UnPr( G(g) )

用自然语言来说,这个命题G(g)说的就是“我是不可在T内证明的”。看,我们在形式系统T内表达出了“我是不可在T内证明的”这个命题。而我们一开始已经讲过了如何用这个命题来推断出G(g)为真但无法在T内证明,于是这就证明了哥德尔的不完备性定理[8]

哥德尔的不完备性定理被称为20世纪数学最重大的发现(不知道有没有“之一”:) )现在我们知道为真但无法在系统内证明的命题不仅仅是这个诡异的“哥德尔命题”,还有很多真正有意义的明确命题,其中最著名的就是连续统假设,此外哥德巴赫猜想也有可能是个没法在数论系统中证明的真命题。

从哥德尔公式到Y Combinator

哥德尔的不完备性定理证明了数学是一个未完结的学科,永远有需要我们以人的头脑从系统之外去用我们独有的直觉发现的东西。罗杰·彭罗斯在《The Emperor’s New Mind》中用它来证明人工智能的不可实现。当然,这个结论是很受质疑的。但哥德尔的不完备性定理的确还有很多很多的有趣推论,数学的和哲学上的。哥德尔的不完备性定理最深刻的地方就是它揭示了自指(或称自引用,递归调用自身等等)结构的普遍存在性,我们再来看一看哥德尔命题的绝妙构造:

G(n): UnPr( N(n) )

我们注意到,这里的UnPr其实是一个形式化的谓词,它不一定要说“X在T内可证明”,我们可以把它泛化为一个一般化的谓词,P:

G(n): P( N(n) )

也就是说,对于任意一个单参的谓词P,都存在上面这个哥德尔公式。然后我们算出这个哥德尔公式的自然数编码g,然后把它扔给G,就得到:

G(g): P( G(g) )

是不是很熟悉这个结构?我们的Y Combinator的构造不就是这样一个形式?我们把G和P都看成一元函数,G(g)可不正是P这个函数的不动点么!于是,我们从哥德尔的证明里面直接看到了Y Combinator

至于如何从哥德尔的证明联系到停机问题,就留给你去解决吧:) 因为更重要的还在后面,我们看到,哥德尔的证明虽然巧妙至极,然而其背后的思维过程仍然飘逸而不可捉摸,至少我当时看到G(n)的时候,“乃大惊”“不知所从出”,他怎么想到的?难道是某一个瞬间“灵光一现”?一般我是不信这一说的,已经有越来越多的科学研究表明一瞬间的“灵感”往往是潜意识乃至表层意识长期思考的结果。哥德尔天才的证明也不例外,我们马上就会看到,在这个神秘的构造背后,其实隐藏着某种更深的东西,这就是康托尔在19世纪80年代研究无穷集合和超限数时引入的对角线方法。这个方法仿佛有种神奇的力量,能够揭示出某种自指的结构来,而同时,这又是一个极度简单的手法,通过它我们能够得到数学里面一些非常奇妙的性质。无论是哥德尔的不完备性定理还是再后来丘齐建立的lambda calculus,抑或我们非常熟悉的图灵机理论里的停机问题,其实都只是这个手法简单推演的结果!

大道至简——康托尔的天才

“大道至简”这个名词或许更多出现在文学和哲学里面,一般用在一些模模糊糊玄玄乎乎的哲学观点上。然而,用在这里,数学上,这个名词才终于适得其所。大道至简,看上去最复杂的理论其实建立在一个最简单最纯粹的道理之上。

康托尔在无穷集合和超限数方面的工作主要集中在两篇突破性的论文上,这也是我所见过的最纯粹最美妙的数学论文,现代的数学理论充斥了太多复杂的符号和概念,很多时候让人看不到最本质的东西,当然,不否认这些东西很多也是有用的,然而,要领悟真正的数学美,像集合论和数论这种纯粹的东西,真的非常适合。不过这里就不过多谈论数学的细节了,只说康托尔引入对角线方法的动机和什么是对角线方法。

神奇的一一对应

康托尔在研究无穷集合的时候,富有洞察性地看到了对于无穷集合的大小问题,我们不能再使用直观的“所含元素的个数”来描述,于是他创造性地将一一对应引入进来,两个无穷集合“大小”一样当且仅当它们的元素之间能够构成一一对应。这是一个非常直观的概念,一一对应嘛,当然个数相等了,是不是呢?然而这同时就是它不直观的地方了。对于无穷集合,我们日常的所谓“个数”的概念不管用了,因为无穷集合里面的元素个数本就是无穷多个。不信我们来看一个小小的例子。我们说自然数集合能够跟偶数集合构成一一对应,从而自然数集合跟偶数集合里面元素个数是一样多的。怎么可能?偶数集合是自然数集合的真子集,所有偶数都是自然数,但自然数里面还包含奇数呢,说起来应该是二倍的关系不是?不是!我们只要这样来构造一一对应:

1 2 3 4 …

2 4 6 8 …

用函数来描述就是 f(n) = 2n。检验一下是不是一一对应的?不可思议对吗?还有更不可思议的,自然数集是跟有理数集一一对应的!对应函数的构造就留给你解决吧,提示,按如下方式来挨个数所有的有理数:

1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 …

用这种一一对应的手法还可以得到很多惊人的结论,如一条直线上所有的点跟一个平面上所有的点构成一一对应(也就是说复数集合跟实数集合构成一一对应)。以致于连康托尔自己都不敢相信自己的眼睛了,这也就是为什么他在给戴得金的信中会说“我看到了它,却不敢相信它”的原因。

然而,除了一一对应之外,还有没有不能构成一一对应的两个无穷集合呢?有。实数集合就比自然数集合要,它们之间实际上无法构成一一对应。这就是康托尔的对角线方法要解决的问题。

实数集和自然数集无法构成一一对应?!

我们只需将实数的小数位展开,并且我们假设实数集能够与自然数集一一对应,也就是说假设实数集可列,所以我们把它们与自然数一一对应列出,如下:

1 a10.a11a12a13

2 a20.a21a22a23

3 a30.a31a32a33

4 …

5 …

(注:aij里面的ij是下标)

现在,我们构造一个新的实数,它的第i位小数不等于aii。也就是说,它跟上面列出的每一个实数都至少有一个对应的小数位不等,也就是说它不等于我们上面列出的所有实数,这跟我们上面假设已经列出了所有实数的说法相矛盾。所以实数集只能是不可列的,即不可与自然数集一一对应!这是对角线方法的最简单应用。

对角线方法——停机问题的深刻含义

对角线方法有很多非常奇妙的结论。其中之一就是文章一开始提到的停机问题。我想绝大多数人刚接触停机问题的时候都有一个问题,图灵怎么能够想到这么诡异的证明,怎么能构造出那个诡异的“说停机又不停机,说不停机又停机”的悖论机器。马上我们就会看到,这其实只是对角线方法的一个直接结论。

还是从反证开始,我们假设存在这样一个图灵机,他能够判断任何程序在任何输入上是否停机。由于所有图灵机构成的集合是一个可列集(也就是说,我们可以逐一列出所有的图灵机,严格证明见我以前的一篇文章《图灵机杂思》),所以我们可以很自然地列出下表,它表示每个图灵机分别在每一个可能的输入(1,2,3,…)下的输出,N表示无法停机,其余数值则表示停机后的输出:

       1  2  3  4 …

M1  N  1  N  N …

M2  2  0  N  0 …

M3  0  1  2  0 …

M4  N  0  5  N …

M1,M2,M3 … 是逐一列出的图灵机,并且,注意,由于程序即数据,每个图灵机都有唯一编码,所以我们规定在枚举图灵机的时候Mi其实就代表编码为i的图灵机,当然这里很多图灵机将会是根本没用的玩意,但这不要紧。此外,最上面的一行1 2 3 4 … 是输入数据,如,矩阵的第一行代表M1分别在1,2,3,…上面的输出,不停机的话就是N。

我们刚才假设存在这样一个图灵机H,它能够判断任何程序在任何输入上能否停机,换句话说,H(i,j)(i是Mi的编码)能够给出“Mi(j)”是N(不停)呢还是给出一个具体的结果(停)。

我们现在来运用康托尔的对角线方法,我们构造一个新的图灵机P,P在1上的输出行为跟M1(1)“不一样”,在2上的输出行为跟M2(2)“不一样”,…总之P在输入i上的输出跟Mi(i)不一样。只需利用一下我们万能的H,这个图灵机P就不难构造出来,如下:

P(i):

if( H(i, i) == 1 ) then // Mi(i) halts

  return 1 + Mi(i)

else // if H(i, i) == 0 (Mi(i) doesn’t halt)

  return 0

也就是说,如果Mi(i)停机,那么P(i)的输出就是Mi(i)+1,如果Mi(i)不停机的话,P(i)就停机且输出0。这就保证了P(i)的输出行为跟Mi(i)反正不一样。现在,我们注意到P本身是一个图灵机,而我们上面已经列出了所有的图灵机,所以必然存在一个k,使得Mk = P。而两个图灵机相等当且仅当它们对于所有的输入都相等,也就是说对于任取的n,有Mk(n) = P(n),现在令n=k,得到Mk(k)=P(k),根据上面给出的P的定义,这实际上就是:

Mk(k) = P(k) =

  1+Mk(k) if Mk(k) halts

  0 if Mk(k) doesn’t halt

看到这个式子里蕴含的矛盾了吗?如果Mk(k)停机,那么Mk(k)=1+Mk(k);如果Mk(k)不停机,则Mk(k)=0(给出结果0即意味着Mk(k)停机);不管哪种情况都是矛盾。于是我们得出,不存在那样的H。

这个对角线方法实际上说明了,无论多聪明的H,总存在一个图灵机的停机行为是它无法判断的。这跟哥德尔定理“无论多‘完备’的形式化公理系统,都存在一个‘哥德尔命题’是无法在系统内推导出来的”从本质上其实是一模一样的。只不过我们一般把图灵的停机问题称为“可判定问题”,而把数学的称为“可证明问题”。

等等!如果我们把那个无法判定是否停机的图灵机作为算法的特例纳入到我们的H当中呢?我们把得到的新的判定算法记为H1。然而,可惜的是,在H1下,我们又可以相应地以同样的手法从H1构造出一个无法被它(H1)判定的图灵机来。你再加,我再构造,无论你加多少个特例进去,我都可以由同样的方式构造出来一个你无法够到的图灵机,以彼之矛,攻彼之盾。其实这也是哥德尔定理最深刻的结论之一,哥德尔定理其实就说明了无论你给出多少个公理,即无论你建立多么完备的公理体系,这个系统里面都有由你的那些公理出发所推导不到的地方,这些黑暗的角落,就是人类直觉之光才能照射到的地方!

本节我们从对角线方法证明了图灵的停机问题,我们看到,对角线方法能够揭示出某种自指结构,从而构造出一个“悖论图灵机”。实际上,对角线方法是一种有深远影响的方法,哥德尔的证明其实也是这个方法的一则应用。证明与上面的停机问题证明如出一辙,只不过把Mi换成了一个形式系统内的公式fi,具体的证明就留给聪明的你吧:)我们现在来简单的看一下这个奇妙方法的几个不那么明显的推论。

罗素悖论

学过逻辑的人大约肯定是知道著名的罗素悖论的,罗素悖论用数学的形式来描述就是:

R = {X:X不属于X};

这个悖论最初是从康托尔的无穷集合论里面引申出来的。当初康托尔在思考无穷集合的时候发现可以称“一切集合的集合”,这样一个集合由于它本身也是一个集合,所以它就属于它自身。也就是说,我们现在可以称世界上存在一类属于自己的集合,除此之外当然就是不属于自己的集合了。而我们把所有不属于自己的集合收集起来做成一个集合R,这就是上面这个著名的罗素悖论了。

我们来看R是否属于R,如果R属于R,根据R的定义,R就不应该属于R。而如果R不属于R,则再次根据R的定义,R就应该属于R。

这个悖论促使了集合论的公理化。后来策梅罗公理化的集合论里面就不允许X属于X(不过可惜的是,尽管如此还是没法证明这样的集合论不可能产生出新的悖论。而且永远没法证明——这就是哥德尔第二不完备性定理的结论——一个包含了PA的形式化公理系统永远无法在内部证明其自身的一致(无矛盾)性。从而希尔伯特想从元数学推出所有数学系统的一致性的企图也就失败了,因为元数学的一致性又得由元元数学来证明,后者的一致性又得由元元元数学来证明…)。

这里我们只关心罗素是如何想出这个绝妙的悖论的。还是对角线方法!我们罗列出所有的集合,S1,S2,S3 …

      S1  S2  S3 …

S1  0     1     1 …

S2  1     1     0 …

S3  0     0     0 …

… …

右侧纵向列出所有集合,顶行横向列出所有集合。0/1矩阵的(i,j)处的元素表示Si是否包含Sj,记为Si(j)。现在我们只需构造一个新的0/1序列L,它的第i位与矩阵的(i,i)处的值恰恰相反:L(i) = 1-Si(i)。我们看到,这个新的序列其实对应了一个集合,不妨也记为L,L(i)表示L是否包含Si。根据L的定义,如果矩阵的(i,i)处值为0(也就是说,如果Si不包含Si),那么L这个集合就包含Si,否则就不包含。我们注意到这个新的集合L肯定等于某个Sk(因为我们已经列出了所有的集合),L = Sk。既然L与Sk是同一集合,那么它们肯定包含同样的元素,从而对于任意n,有L(n) = Sk(n)。于是通过令n=k,得到L(k) = Sk(k),而根据L的定义,L(k) = 1- Sk(k)。这就有Sk(k) = 1-Sk(k),矛盾。

通过抽象简化以上过程,我们看到,我们构造的L其实是“包含了所有不包含它自身的集合的集合”,用数学的描述正是罗素悖论!

敏锐的你可能会注意到所有集合的数目是不可数的从而根本不能S1,S2…的一一列举出来。没错,但通过假设它们可以列举出来,我们发现了一个与可列性无关的悖论。所以这里的对角线方法其实可以说是一种启发式方法。

同样的手法也可以用到证明P(A)(A的所有子集构成的集合,也叫幂集)无法跟A构成一一对应上面。证明就留给聪明的你了:)

希尔伯特第十问题结出的硕果

希尔伯特是在1900年巴黎数学家大会上提出著名的希尔伯特第十问题的,简言之就是是否存在一个算法,能够计算任意丢番图方程是否有整根。要解决这个问题,就得先严格定义“算法”这一概念。为此图灵和丘齐分别提出了图灵机和lambda calculus这两个概念,它们从不同的角度抽象出了“有效(机械)计算”的概念,著名的图灵——丘齐命题就是说所有可以有效计算出来的问题都可以由图灵机计算出来。实际上我们已经看到,丘齐的lambda calculus其实就是数学推理系统的一个形式化。而图灵机则是把这个数学概念物理化了。而也正因为图灵机的概念隐含了实际的物理实现,所以冯·诺依曼才据此提出了奠定现代计算机体系结构的冯·诺依曼体系结构,其遵循的,正是图灵机的概念。而“程序即数据”的理念,这个发端于数学家哥德尔的不完备性定理的证明之中的理念,则早就在黑暗中预示了可编程机器的必然问世。

对角线方法——回顾

我们看到了对角线方法是如何简洁而深刻地揭示出自指或递归结构的。我们看到了著名的不完备性定理、停机问题、Y Combinator、罗素悖论等等等等如何通过这一简洁优美的方法推导出来。这一诞生于康托尔的天才的手法如同一条金色的丝线,把位于不同年代的伟大发现串联了起来,并且将一直延续下去…

P.S

1. lambda calculus里面的“停机问题”

实际上lambda calculus里面也是有“停机问题”的等价版本的。其描述就是:不存在一个算法能够判定任意两个lambda函数是否等价。所谓等价当然是对于所有的n,有f(n)=g(n)了。这个问题的证明更加能够体现对角线方法的运用。仍然留给你吧。

2. 负喧琐话(http://blog.csdn.net/g9yuayon)是个非常不错的blog:)。g9的文字轻松幽默,而且有很多名人八卦可以养眼,真的灰常…灰常…不错哦。此外g9老兄还是个理论功底非常扎实的牛。所以,anyway,看了他的blog就知道啦!最初这篇文章的动机也正是看了上面的一篇关于Y Combinator的铸造过程的介绍,于是想揭示一些更深的东西,于是便有了本文。

3. 文章起名《康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线》其实是为了纪念看过的一本好书GEB,即《Godel、Escher、Bach-An Eternal Golden Braid》中文译名《哥德尔、埃舍尔、巴赫——集异璧之大成》——商务印书馆出版。对于一本定价50元居然能够在douban上卖到100元的二手旧书,我想无需多说。另,幸福的是,电子版可以找到:)

4. 其实很久前想写的是一篇《从哥德尔到图灵》,但那篇写到1/3不到就搁下了,一是由于事务,二是总觉得少点什么。呵呵,如今把康托尔扯进来,也算是完成当时扔掉的那一篇吧。

5. 这恐怕算是写得最曲折的一篇文章了。不仅自己被这些问题搞得有点晕头转向(还好总算走出来),更因为要把这些东西自然而然的串起来,也颇费周章。很多时候是利用吃饭睡觉前或走路的时间思考本质的问题以及如何表达等等,然后到纸上一气呵成。不过同时也锻炼了不拿纸笔思考数学的能力,呵呵。

6. 关于图灵的停机问题、Y Combinator、哥德尔的不完备性定理以及其它种种与康托尔的对角线之间的本质联系,几乎查不到完整系统的深入介绍,一些书甚至如《The Emperor’s New Mind》也只是介绍了与图灵停机问题之间的联系(已经非常的难得了),google和baidu的结果也是基本没有头绪。很多地方都是一带而过让人干着急。所以看到很多地方介绍这些定理和构造的时候都是弄得人晕头转向的,绝大部分人在面对如Y Combinator、不完备性定理、停机问题的时候都把注意力放在力图理解它是怎么运作的上面了,却使人看不到其本质上从何而来,于是人们便对这些东东大为惊叹。这使我感到很不痛快,如隔靴搔痒般。这也是写这篇文章的主要动机之一。

Reference

[1] 《数学——确定性的丧失》

[2] 也有观点认为函数式编程语言之所以没有广泛流行起来是因为一些实际的商业因素。

[3] Douglas R.Hofstadter的著作《Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid》(《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》)就是围绕这一思想写出的一本奇书。非常建议一读。

[4] 《数学——确定性的丧失》

[5] 虽然我觉得那个系徽做得太复杂,要表达这一简洁优美的思想其实还能有更好的方式。

[6] 关于如何在lambda calculus系统里实现“+”操作符以及自然数等等,可参见这里这里,和这里

[7] g9的blog(负暄琐话)http://blog.csdn.net/g9yuayon/ 上有一系列介绍lambda calculus的文章(当然,还有其它好文章:)),非常不错,强烈推荐。最近的两篇就是介绍Y combinator的。其中有一篇以javaScript语言描述了迭代式逐步抽象出Y Combinator的过程。

[8] 实际上这只是第一不完备性定理,它还有一个推论,被称为第二不完备性定理,说的是任一个系统T内无法证明这个系统本身的一致性。这个定理的证明核心思想如下:我们前面证明第一不完备性定理的时候用的推断其实就表明 Con/T -> G(g) (自然语言描述就是,由系统T的无矛盾,可以推出G(g)成立),而这个“Con/T -> G(g)”本身又是可以在T内表达且证明出来的(具体怎么表达就不再多说了)——只需要用排中律即可。于是我们立即得到,T里面无法推出Con/T,因为一旦推出Con/T就立即推出G(g)从而推出UnPr(G(g)),这就矛盾了。所以,Con/T无法在T内推出(证明)。

91 Comments

  1. 十点一时 | | Reply

    康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线

  2. llk | | Reply

    47楼 小逸 2012-01-24 11:43发表 [回复]
    荡气回肠!!!

    46楼 parakpurple 2011-01-12 15:47发表 [回复]
    好文章 学习了

    45楼 oktrinket 2010-08-06 16:26发表 [回复]
    拜读楼主文章,受益良多。
    再翻看评论,不禁感叹SB真多。。。连原理性的东西都没搞清楚,就跳出来推翻别人的理论——你看不懂,不等于别人是错的!

    44楼 匿名用户 2010-06-22 23:41发表 [回复]
    我也觉得康托尔的反证有问题:推理不对。如果所有实数都列出来了,怎么还可以找到未列出的实数呢?
    楼主前面那段判断停机问题的代码,我也觉得比较疑惑:能否停机已经在GOD函数外了,当然GOD函数不负责判断能否停机了。GOD函数应该只负责在它范围内的程序是否停机,出了它之外的,不应该也不可能判断了。上帝的归上帝,撒旦的归撒旦。

    Re: anonymous2 2011-07-14 00:26发表 [回复]
    回复匿名用户:
    引用“匿名用户”的评论:
    我也觉得康托尔的反证有问题:推理不对。如果所有实数都列出来了,怎么还可以找到未列出的实数呢?
    楼主前…

    假设实数已经列完了,和自然数一样多(实际上比自然数多),但是我照样可以巧妙“构造”出一个实数(先不确定是不是新的),而且这个被构造出的实数如果之前被列出来过,就会有矛盾,所以肯定是新的数,也就是说之前没有列举完,证毕…其实是这个意思

    43楼 fonix 2009-01-18 17:07发表 [回复]
    哥德尔的证明(或者说你的转述)有错误,看下面一段原文(有删减):

    一个形式系统中的符号数目是有限的,它们构成这个形式系统的符号表。于是,我们可以依次枚举出所有长度为1的串,长度为2的串,长度为3的串… 此外根据形式系统给出的语法规则,我们可以检查每个串是否是wff…枚举出所有的wff来。最关键的是,形式系统中的证明也不过就是由一个个的wff构成的序列…我们只需枚举所有的串,对每一个串检查它是否是一个由wff构成的序列(证明),如果是,则记录下这个wff序列(证明)的最后一个wff,也就是它的结论。这样我们便枚举出了所有的可由T推导出的定理

    上面一段的错误在于混淆了阿列夫0和阿列夫1,也就是说混淆了自然数集和实数集,认为二者元素个数相同。下面是仿效哥德尔的描述来证明自然数集和实数集的元素数相同:

    每个实数都是有若干个数字构成的(忽略小数点),我们先列出1个数字构成的实数,再列出有2个数字的实数,…一直这样,这样我们就枚举出了所有的实数。每个实数都有一个序号,序号的值就是自然数值了。所以实数和自然数就一一对应起来了

    看到问题了吗?一个形式系统的所有的wff的集合比自然数集大,和实数集相同。

    哥德尔证明犯的另一个错误,和罗素悖论一样,要别人就一个动态量给出一个确定的答案
    问一个不停转向的汽车的头朝哪边?请先给出时间点!
    构造了一个定义中言及自身的不断变化的集合,然后问它是否包含自身?请先告诉我想知道第几次迭代的结果!

    数学主要是用来求解静态量(或动态过程中的静态统计指标)的值的。但是这不意味着一切数学问题的必须要有一个确定的静态的结果。
    哥德尔和罗素构造了动态量,却按照数学家的习惯去问它的静态解,当然没有答案

    一个剃头匠只给镇上所有不给自己剃头的人剃头,那他该给自己剃头吗?
    剃头匠,我从不给自己剃头,你给我剃吧。好,给你剃。剃完了,一个月后,我自己剃了一把,剃头匠气死了,但也没办法。
    剃头匠,我以前给自己剃过头,可是上个月我在事故断了双手,现在我不能给自己剃头了,你帮我剃吧?好的,我给你剃。
    剃头匠,你虽然以前给自己剃头了,但现在你没给自己剃头,符合条件,所以你给自己剃一下吧。好,剃一下。哎呀,不行,我给自己剃了一下头了,所以我不能再给自己剃了,我得赶紧停下来。好的,停了。但是现在你又没给自己剃头了,所以你再剃一下吧。好,我再剃一下…
    过了两个钟点,剃头匠的头剃完了,也疯了

    Re: anonymous2 2011-07-14 00:38发表 [回复]
    回复fonix:
    引用“fonix”的评论:
    哥德尔的证明(或者说你的转述)有错误,看下面一段原文(有删减):

    一个形式系统中的符号数目是有…

    WFF的数目相当于实数集,这个评论有意思,我也不懂歌德尔的严格证明,不过楼主在证明罗素悖论的时候写了:“敏锐的你可能会注意到所有集合的数目是不可数的从而根本不能S1,S2…的一一列举出来。“,估计楼主也明白,所以可能是转述有问题,歌德尔的编码方法可能比楼主描述的更复杂…还请楼主主来看看

    Re: anonymous2 2011-07-14 00:46发表 [回复]
    回复anonymous2:奥,我想起来了,歌德尔的编码用的是实数,而不是和自然数对应的,不是一个自然数*自然数的“矩阵”,而是两个实数轴垂直形成的“平面”,不是一个个对角元,而是对角线,这样思考更严密些…罗素悖论其实也可以试试这样证

    42楼 houxudongdongxu 2008-11-27 11:51发表 [回复]
    手之舞之 足之蹈之

    41楼 yujunlong2000 2008-09-27 10:32发表 [回复]
    ((读斑竹此文后==>读g9的有关lambda算子的系列文章==>学习了lisp(最早函数式语言)==>在lisp中实现Y算子)
    ==>没有成功)
    ==>总结:

    1:支持多级参数化(需要多个参数的函数可以一级一级的被调用)
    (lisp不支持)例证:
    >(defun ADD. (x y) (+ x y))
    >(ADD. 4 6) 成功得到10
    >((ADD. 4) 6) 不能成功
    2:支持函数参数化(使用函数作为参数)
    (lisp支持)例证:
    >(defun returnplus. (y) (let ((plus (lambda (x) (* 11 x)))) (funcall plus y)))
    >(defun call. (f y) (funcall f y))
    >(call. ‘returnplus. 8) 成功得到88
    3:支持模糊参数化(也就是说可以传入的参数是不确定的值(为函数调用),只有在需要实例化的时候才会实例化)
    (lisp不支持)例证:
    >(defun returnplus. (y) (let ((plus (lambda (x) (* 11 x)))) (funcall plus y)))
    >(defun call. (f y) (funcall f y))
    >(call. (returnplus.) 8) 不能成功

    求精:1和3好象就是说的一回事情(对其实还是有区别的,朋友可以自己体会)

    以下是我写的Y算子
    (defun Y (y n) (let ((yin (lambda (x nin) (funcall y (funcall x x) nin)) )) (funcall yin yin n)))
    我想既然lisp是最早的函数语言,应该不至于不能实现最神奇的Y算子,个人想应该还跟宏有关系,但还没有得到结果。

    40楼 yujunlong2000 2008-09-19 11:07发表 [回复]
    好象只是证明了let Y = lambda y . (lambda x . y (x x)) (lambda x . y (x x)) <1>
    能够完成把普通的函数构建成递归函数的能力
    但没有得到算子一定就是这样的(其实本身它就不是唯一的)
    let power_gen = lambda self. P(self(self))
    这就可以说是一个非已知的条件
    其实从这一点看也印证了不完备性的正确性,我们需要外部的条件来得到<1>

    还有一点想请问:
    Y能解决一个函数与自己相关的情况,但它好象不能解决两个函数分别与对方相关的情况,有没有这方面的lambda算子?

    39楼 9527 2008-04-04 01:36发表 [回复]
    推Y算子极尽罗嗦之能事

    38楼 hxl268 2008-03-27 08:29发表 [回复]
    “见到胡子就…”的重大错误使康脱误入歧途
    ——{1,2,3,…,n,…}不一定是正整数集N
    黄小宁 通讯:广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
    研究2无穷集是否分别包含同样多(个)元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C~D表示C与D分别包含同样多(个)元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K={a}∪C比C多了一个C所没有的数a——不论C是否无穷集。
    P={0,1,2}
    Q ={0,1,2}∪{3}由两部分组成,显然其第2部分{3}有多少个元,Q就比P~P多多少个元。
    关键是对上、下两集的各数从左到右依次一一对应成双配对起来,立刻就能看出哪一集比哪一集多或少了几个数。同样——
    奇数集A={1,3,5,…,2n-1,… }
    偶数集B={2,4,6,…,2n,… }( B的各元2n的对应数n的全体组成集合C)
    B~C={1,2,3,…,n,…}
    显然A~B~C。问题是N=A∪B ~A吗?N=A∪B = C吗?
    A={1,3,5,…,2n-1,…}
    N=A∪B={1,3,5,…,2n-1,…}∪{2,4,6,…,2n,…},显然N的第2部分B有多少个元,N就比A~A多多少个元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
    关键是上A的各数2n-1都有对应数2n-1∈下A——N的第1部分,若上A内有数再与N的第2部分B的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。
    同样B~A也根本不可~N!注!本文的集都由两部分组成,上集的第1部分必~相应的下集的第1部分。
    B~C={1,2,3,…,n,…}∪{}(C的第2部分是空集)
    在N=B∪A={2,4,6,…,2n,…}∪{1,3,5,…,2n-1,…}中,第2部分A有多少(个)元,N就比C~B多多少(个)元,使C只能是N的一部分而非N——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
    表达式一目了然地表达上集C的各数n只与下集N的一部分B的各数2n一一对应成双配对就已配满了,从而使N的另一部分A的各数2n-1都与此配对无关,即C的各数n不可与N=B∪A的各数n、2n-1一一对应。关键是C的各数n均有对应数2n∈B,从而使C中无一数n能与A的数2n-1相对应,否则就是“一对二”的重复对应了。
    形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
    可见仅凭C={1,2,3,…,n,…}就断定其=N,是犯了“见到胡子就…”的错误。
    故N=C∪(N-C)= C∪F是C的真扩集,F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
    所以中学数学断定y=2n>n= 1,2,3,…,…(y∈N) 的定义域=N是使康脱脱离健康误入歧途的重大错误。
    不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
    所以被誉为“人类的最伟大的创造之一”(胡作玄,引起纷争的金苹果,福建教育出版社,1993.12:27)的康脱集论其实是脱离健康的极荒唐病态理论。这是数学的致命病毒。将此核心错误奉为数学引以为豪的基础,使其占统治地位百年之久,必使人滚雪球似地“滚”出越来越大、无穷变大的一连串更重大的错误。这使美国著名数学史家M•克莱因清醒地意识到:“这个世纪以来,数学从科学中的分离不断加速,[1]”百年康脱集论使数学急速脱离健康发展轨道地远离科学。致命病毒的

    37楼 burninglove 2008-03-25 14:00发表 [回复]
    真是好东西啊

    36楼 coolspeed 2008-03-23 18:49发表 [回复]
    鹏哥,昨天偶然从我们学校的二流图书馆邂逅一本谈从康托尔到冯诺伊曼的书,看完激动,想起来你写过一篇有关的博,特此过来读完整篇,和大半评论。

    受益匪浅,而且我之前都没想过哥德尔定理居然是那样一种东西,但对角线法则可不可能不是对以上那些所有推理的抽象,而是同级别的东西,然后以对象线法则和同级方法的更抽象的方法为依据,“变身”后完成任务的呢,在有迹象表明哥德尔确实是从对象线方法出发的以前?

    可以想象你发现这一切时的激动,而且恭喜。重要的是感谢,让我学到这么多。

    35楼 hxl268 2008-03-14 08:22发表 [回复]
    稍有一点头脑的人也一教就明的百年重大错误
    黄小宁
    通讯:广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
    研究2无穷集是否分别包含同样多(个)元素是集合论的最核心的实质内容。无穷集C~D表示C与D分别包含同样多(个)元素。给C增添一C外元a就得C的真扩集K={a}∪C比C多了一个C所没有的数a。
    P={0,1,2}
    Q ={0,1,2}∪{3}由两部分组成,显然其第2部分{3}有多少个元,Q就比P~P多多少个元。关键是对上、下两集作比较,立刻就能…。同样——
    奇数集A:1,3,5,…,2n-1,… (A的元素可排为一数列)
    偶数集B:2,4,6,…,2n,… ( B的各元2n的对应数n的全体组成集合C)
    B~C:1,2,3,…,n,…
    显然A~B~C。问题是N=A∪B ~A吗?N=A∪B = C吗?
    A={1,3,5,…,2n-1,…}
    N=A∪B={1,3,5,…,2n-1,…}∪{2,4,6,…,2n,…},显然N的第2部分B有多少个元,N就比A~A多多少个元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
    关键是上A的各数2n-1都有对应数2n-1∈下A——N的第1部分,若上A内有数再与N的第2部分B的数相对应那就是“一对二”的重复对应了。
    同样B~A也根本不可~N!
    B~C={1,2,3,…,n,…}∪{}(C的第2部分是空集)
    在N=B∪A={2,4,6,…,2n,…}∪{1,3,5,…,2n-1,…}中,第2部分A有多少(个)元,N就比C~B多多少(个)元——稍有一点头脑的初中生也一说就明的推翻百年集论的表达式。
    形成鲜明对比的是B的元素与C的元素就一样多。
    故N=C∪(N-C)= C∪F是C的真扩集,F的各元n都是>C的一切n的C外无穷大自然数n。
    所以中学数学断定C=N,是将N的一部分误为N从而使康脱误入歧途的重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
    所以被誉为“人类的最伟大的创造之一”(胡作玄,引起纷争的金苹果,福建教育出版社,1993.12:27)的康脱集论其实是脱离健康的极荒唐病态理论。这是数学的致命病毒。将此核心错误奉为数学引以为豪的基础,使其占统治地位百年之久,必使人滚雪球似地“滚”出越来越大、无穷变大的一连串更重大的错误。这使美国著名数学史家M•克莱因清醒地意识到:“这个世纪以来,数学从科学中的分离不断加速,[1]”百年康脱集论使数学急速脱离健康发展轨道地远离科学。致命病毒的入侵使数学有违反科学常识的理论啊!真正的数学必然是科学。
    可见,被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论,是重大的百年之误!建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
    详论见获中国教育学会一等奖的文献[2]。关键是N内有最大自然数n使2n等不∈N!
    周光召精辟指出:“中国目前最需要的是颠覆性创新。”(南方周末报,2007.12.6,A8)
    参考文献
    [1]M•克莱因著、李宏魁译 数学:确定性的丧失,长沙市:湖南科技出版社,1999.4:311
    [2]黄小宁,50字推翻五千年科学“常识”:无最大自然数,科技信息[J],2007(36):31.
    [3]黄小宁,“最伟大创造

    34楼 hxl268 2008-03-02 07:01发表 [回复]
    见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见:“下一代人将把(康脱尔的)集合论当作一种疾病,而且人们已经从中恢复过来了。”(张锦文等,连续统假设,辽宁教育出版社,1988:20)。
    3 百年集论是建立在病句之上的病态理论
    说无穷集N内一个不漏地一切数n全都有对应数y=n+1比其大,不就是说有数y>N内一切数n吗?不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力
    若所有已知自然数组成的N的各元n都有对应数n+1,则所有的n+1都∈N吗?数学断定N的各元n都有对应数y=n+1。N的各元n都有对应数n-1,但并非所有的n-1都∈N。同样,以下揭示…。
    S式:代表数的y=n+1> n = 0,1,2,…,表达式中数列N的各数n都有对应数n+1,同时也一目了然地直接表达有数y>数列的一切数n,即y必可代表N外的数n+1>N的一切数。式中n可一个不漏地遍取N的一切数使代表数的y必可一个不漏地遍比N的所有n都大而成为(代表)N外的数,即y必可代表N外的数。否定此常识者暴露出其是数盲(学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容,否则就是鹦鹉学舌,从而成为数学王国里的睁眼瞎。)。若限制式中y只能在N内取值,则式中数列≠N!
    然而自然数公理断定S式中的y只能在N内取值即断定N的任何元n<y=n+1∈N——一目了然的重大病句:说N中有数y>N的任何(所有)元n。说式中n可一个不漏地遍取N的一切数,就是说代表数的y>n必可一个不漏地遍比N的所有n都大。关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解,对式中各字母的含义不能只有一知半解。
    函数论断定:S式的y= n + 1的定义域D=N,N的任何元n均有对应数y= n + 1∈N与n成双配对“结婚”,所有对应数y组成的Z={1,2,…,n+1,…}是N的真子集而且~D=N。
    其实这是错误的,根据H定理,若Z~D=N,则Z不是N的真子集,即Z中至少有一 n+1不∈N;若Z是N的真子集,则不可有Z~N。不明此理使函数论一直隐含重大病句——百年集合论就是建立在此类病句之上的病上加病的病态理论:断定N的真子集可~N;…。
    周光召精辟指出:“中国目前最需要的是颠覆性创新。”(南方周末报,2007.12.6,A8)
    4 说明与鸣谢
    说明:本文实际上是获中国教育学会一等奖的文献[1]的一小部分。
    鸣谢:衷心感谢众多敢于实事求是、坚持真理、有正义感的合格教育工作者多年来对作者的极为难能可贵的教育与鼓励:这不是少数人搞的学问而是亿万人学习研究的集合论,企图封锁其错误真相者如当年对无理数发现者的“杀人灭口”,是利令智昏!
    参 考 文 献
    1 黄小宁 50字推翻五千年科学“常识”:无最大自然数,科技信息,2007年第36期:31.
    2 田开璞 现代科学数系论,济南:山东科技出版社,1998.4:12-13。
    3 黄小宁 “最伟大创造之一”的康脱集论最让数学脱离健康,见:左庆润、蒋峰主编,中华素质教育理论与实践新探(4), 北京:中国戏剧出版社,2006.2:423.
    电联:020-88506843(下午) 初稿完成于2008.2.13。E-mail:hxl268@163.com(hxl中的l是英文字母)

    33楼 hxl268 2008-03-02 06:59发表 [回复]
    39字推翻百年集论
    黄小宁
    (广州市华南师大南区9-303 邮编510631)
    摘要 仅用39个字符就推翻了百年无穷集论。
    关键词 推翻一系列数学定理;百年集合论;重大错误:将部分误为全部

    1 G的真扩集K={a}∪G必显示K比G多一个元素a
    两无穷数集A与B=A∪{a}≠A是否分别包含同样多(个)元素?规定一个数只能“拉”一个数,A的各数x均将B内与己相同的数y=x“拉”出来,于是B的一部分:A的元素全都给“拉”出来后,A内就再也无数将a“拉”出来了。为什么?原因一目了然:B比A多包含了一个元素a。关键是A的各数x均有与己相同的对应数x=y∈B。总之,若A的所有元x与B的一部分——真子集的各数y一一对应,就表明B至少比A多含一个元素。康脱就断定无理数比自然数多;…。
    两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。故两集不对等就更谈不上相等。
    真扩集定理:任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等,原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。
    证明:G~G。给G增添一个非空集H得G的真扩集K=H∪G就极显然不~G了:K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应成双配对“结婚”,而另一部分H的各元素就都“单身”,表明K至少比G多出了一个元素。证毕。
    2 39字推翻百年集论——凡无穷集都不能与其任何真子集对等
    H定理:任何至少有两元素的集J都不能与其任何一部分对等;故凡~J的集或=J,或≠J,都不是J的真子集。
    证明:任何至少有两元素的集J都可是其两不相交非空部分的并。设E是J的任一非空部分,J-E=V也非空,则J=E∪V,即J是E的真扩集,E与V不相交。E极显然不~J:
    P={0,1,2}与Q=P∪{3}的一部分P对等,就不可与Q对等了。同样,原E各元与J的一部分E各元一一配对了,哪还来多余的数与J另一部分V各元相配对?——这里39个字符数就推翻了百年集论!证毕。
    关键是J的任何一部分E的各数均有与己相同的对应数∈J,若E内有数再与V内数相对应,那就是重复对应了。
    D =E=(0,1)的各元x均有对应数y=2x与其成双配对;所有对应数y组成的Z~D.康脱由此错误地断定J=(0,2)可~它的一部分D。问题是如[1]所述,
    Z≠D∪[1,2)=J!
    即“定义域为D的y=2x的值域Z=J”是自有直线函数概念以来的几百年重大错误!如以上证明所述,Z的各元2x全都有“对象”x∈J的一部分D了,从而全都不能与J的另一部分[1,2)的各元x“搞对象”。否则就是“搞重婚”。可见Z与J不对等!从而更不相等。所以Z~D=E与D一样是J的真子集,康脱的百年集论是建立在几百年重大错误:将部分误为全部之上的更重大错误。
    以上推翻了一系列的“定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素,还是可数无限集。…。定理3 两个可数无限集的并集是可数无限集。…。推论 如果A是无限集,B是可数集,那么A∪B~A。…。定理4 …[2]”例如书上的自然数集N不~它的真扩集{0.1}∪N。
    可见,数学引以为豪的被“最伟大数学家”希尔伯特断定任何人都不能推翻的百年无穷集论,是重大的百年之误!建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
    对占统治地位的集合论,1908年著名数学家庞加莱富有远

    32楼 Picasa 2008-02-18 03:47发表 [回复]
    对角线方法和图灵机停机问题之间其实并没有必然联系。
    在构造一个新的图灵机P的时候,完全可以把其中的return 1 + Mi(i)改成while(1);这样一来,when M(k) halts,P(k) doesn’t halts; when M(k) doesn’t halt,P(k) halts.直接就导出矛盾了,完全不需要所谓的对角线。因此你在文中所说的”其实只是对角线方法的一个直接结论”有待商榷,因为两者并没有直接的关系。
    对角线方法通常是用来区分可数无穷集和不可数无穷集的利器,事实上在停机问题中并没有看到不可数无穷集的影子

    31楼 cnzhangzhen 2008-01-18 15:15发表 [回复]
    pongba, 恕我直言,我依稀记得我们那本数学分析教材上好像用了不到2页纸讲lamda和不动点, 当时学的很清楚,今天重看了你的文,似乎又糊涂了。
    另参考:
    http://www.nirvanastudio.org/wp-content/uploads/2006/08/why%20functional%20programming%20matters.html

    30楼 bobo 2008-01-13 21:10发表 [回复]
    楼主的哲学造诣很深啊
    请教下,“人龟赛跑”的悖论怎么证明?

    29楼 哈哈镜 2008-01-11 22:17发表 [回复]
    对不起,你后面已经说明你注意到了(没有看下去)。

    (定义每个实数为一个单个元素的集合。那么这些个集合必然是不可列的集合。因此,集合存在不可列的情况。)

    很感兴趣你在不可列的情况下怎么证明这种罗素集合的。

    28楼 哈哈镜 2008-01-11 21:41发表 [回复]
    在罗素悖论的章节中,有关自己包含自己的集合的存在性证明的一个质疑。

    康托悖论已经证明了所有集合的集合是不存在的,如何能假设所有集合可列或不可列?因此,对角线法的证明前提就错了。
    而且罗素悖论出现在康托悖论之后,这个对角线法不可能是罗素用的吧?

    27楼 cyg 2007-12-05 16:24发表 [回复]
    虽然不太懂 还是挺有趣的

    26楼 hayate 2007-10-20 01:09发表 [回复]
    to cdppmm
    这正好说明这是这个假设内蕴的矛盾,所以假设不成立。

    反证法,提出假设,在此基础上,纯粹依靠逻辑和已知的结论进行推理。只要逻辑和结论没错,结果都是必然的。不管证明者是否“有企图”构造出一个新的实数。

    25楼 bitabu 2007-08-02 18:57发表 [回复]
    读了这篇文章和大家的一些评论,我有以下几点看法:

    1.数学的历史其实就是认识”无限”的历史;三次数学危机的产生就是由对”无限”的认识而产生的;

    2.康托尔最重要的贡献就是找到了无穷集合的基,利用他的理论可以轻易解释古代数学家芝诺的一些悖论;

    3.cdppmm 发表于2007-06-29 06:43:35 IP: 129.105.15.”康托利用对角线方法来反证实数不可列这个经典方法,我一直觉得有问题。理由如下:在假设实数可列并列出所有小数形式的实数后,却又突然来构造一个新的实数?既然前面已假设列出了所有的实数,那么怎么又能再冒出一个新的实数呢?说白了,构造新的实数,就蕴涵了“不相信刚才已列出所有实数的做法”,这岂不是把反证法的假设前提都推翻了吗?”

    对角线法则的构造就是一种反证法,这种方法的目的就是为了推翻假设.

    4.个人认为康托尔所有理论中最难以解决甚至可能存在错误的是”连续统假设”和”良序假设”.

    本人是一个立志进行经济学研究的经济学人,对数学极感兴趣,也深知数学对于经济学的重要性.希望能发展经济学中的数学方法,打破现在经济学中仅仅使用计量统计数学方法的局限.
    bitabu@sina.com

    24楼 Gemini_Alex007 2007-07-07 22:18发表 [回复]
    鹏哥,太佩服你了!!!

    23楼 pongba 2007-06-29 10:33发表 [回复]
    to cdppmm:
    关键在于,他说“构造一个实数”,并未说“构造一个与上面所有实数不同的新实数”,实际上后来它又利用了“以上已经列出了所有的实数”这个假设,从而这个构造出的实数应当等于上面的某一个实数,但这就矛盾了,因为任何一个实数都不和它相等。

    推翻假设前提的是这个“构造法“本身的可行性。而非那个特定的被构造出来的实数。

    22楼 cdppmm 2007-06-29 06:43发表 [回复]
    康托利用对角线方法来反证实数不可列这个经典方法,我一直觉得有问题。理由如下:在假设实数可列并列出所有小数形式的实数后,却又突然来构造一个新的实数?既然前面已假设列出了所有的实数,那么怎么又能再冒出一个新的实数呢?说白了,构造新的实数,就蕴涵了“不相信刚才已列出所有实数的做法”,这岂不是把反证法的假设前提都推翻了吗?

    21楼 海枫 2007-06-24 20:31发表 [回复]
    楼主真是真牛,本人对这方面也很感兴趣,但一直找不到机会和时间来学习!楼主可以在这方面继续深入研究,很快就可以成为学术牛人拉!在学校里很快可以成为教授拉!

    20楼 JJWorm 2007-02-25 21:33发表 [回复]
    好文章,为楼主热烈鼓掌.终于把这些模糊的概念串起来了, 想这些不敢想太多,连康托都最后想成了精神病.康托是纯粹的天才类型,可惜生早了.

    19楼 pongba 2006-12-17 15:46发表 [回复]
    l wrote:

    … T系统的一致正是歌德尔定理对T的假定。否则如果T可以是不一致的,那么在文章前一段中所用的排中律也是不成立的 …

    是为了强调Con(T)并非T的一个公理。这一点对理解歌德尔不完备性定理很重要。

    18楼 l 2006-11-13 01:03发表 [回复]
    “如果你足够敏锐,你会发现上面这番推理本身不就是证明吗?其证明的结果不就是P是正确的?然而实际上这番证明是位于T系统之外的,它用到了一个关于T系统的假设“T是一致(无矛盾)的”,这个假设并非T系统里面的内容,所以我们刚才其实是在T系统之外推导出了P是正确的,这跟P不能在T内推导出来并不矛盾。所以别担心,一切都正常。” 文章的这段论述是有问题的。T系统的一致正是歌德尔定理对T的假定。否则如果T可以是不一致的,那么在文章前一段中所用的排中律也是不成立的。其实文章在上一段就已经导出了矛盾证明了T是不完备的,这段实在是画蛇添足。

    17楼 hayate 2006-10-29 23:52发表 [回复]
    想当年 第一次 听说 歌德尔不完备定理时 那个兴奋啊 从哲学的角度来看 太深刻了 永恒的金带 我收了电子版 可惜还没看 电子书看起来就是累…..

    16楼 刘未鹏 2006-10-26 15:20发表 [回复]
    to notabdc: 谢谢你的建议:-) CSDN的blog改长文特别慢,anyway,别人看到你的留言就知道了,呵呵,不过我怀疑是不是有人会关心那个证明:-)

    15楼 notabdc 2006-10-26 10:17发表 [回复]
    这回我明白了。 建议文章中多写个步骤: 令N=Pn, [1] 让N作用到n上得到 N(n) [2] [1]中的n和[2]中的n的作用并不是一回事,原文中的这句话 “这个公式由两部分构成,n是这个公式的自由变量,它是一个自然数,一旦给定,那么这个公式就变成一个明确的命题。而N则是从n解码出的货真价实的公式” 中的两个n指代不清,实际上应该是分别指[2]和[1],但是给人强烈的误导,以为说的是同一个东西。因为按照常理,当看到N(n)的时候,思维就进入普通的f(x)的模式了,谁也不会想到N本身还是n的函数。

    14楼 刘未鹏 2006-10-25 23:45发表 [回复]
    to notabdc: N其实就是Pn,也就是自然数n所对应的formula。皇帝新脑里面称为Pn,P是指Predicate,即谓词。其实是一回事。 用n和N分别代表一个自然数和这个自然数对应的formula是为了突出它们本质上是一样的这个事实。

    13楼 notabdc 2006-10-25 23:00发表 [回复]
    楼主这篇文章确是好文,尤其是把Y Combinator说得清清楚楚。正因为如此,我才看得格外仔细,哥德尔定理我以前已经看过相当多的介绍了,若是普通文章我肯定是把具体证明部分跳过去了,不过为了不漏过可能的精彩知识点我仔细地看进去。 恕我直言这部分确是写得不好,因为就算是看了楼主回复的说明(一阶谓词逻辑我还是知道一点的),我还是看不明白这个证明。我翻出了《皇帝新脑》,看了第122页的证明后,才明白过来。--即使明白过来,我还是没有看懂楼主的记法。关键在于楼主没有说明清楚N的定义。如果用《皇帝新脑》中证明的记法Pn(w)就不会有误解了。《皇帝新脑》证明中的Pn到底对应的是楼主证明的N呢还是N(n)?似乎无论哪一种看到后面都说不通,所以我才迷糊了。 当然,如果我理解错了,楼主的证明和书中的证明不是一回事,还望海涵,当然还希望详细说明一下。也许楼主可以找几个人实验一下,仔细读读这段证明。希望不是我脑子一时卡住的原因:)

    12楼 刘未鹏 2006-10-19 13:12发表 [回复]
    to notabdc: >> …前面又提到,N(n)是从n解码出的货真价实的公式… 我相信我原文中写的是:N是从n解码出… N是公式,给定它的参数n,就成了命题(N(n)),而一个命题是有真假之分的,所以N(n) is unprovable就是有意义的陈述了。 公式和命题是一阶谓词逻辑里面的最基本概念,随便找本这方面的书就可以知道了:)

    11楼 notabdc 2006-10-19 11:06发表 [回复]
    关于哥德尔部分的问题。 “G(n)——别忘了G内有一个自由变量n,所以G现在还不是一个命题,而只是一个公式,所以谈不上真假” 前面又提到,N(n)是从n解码出的货真价实的公式。既然公式谈不上真假,又何来的“unprovable”呢?是否可以理解为“不是命题的公式”都是“unprovable"呢? 因为没有搞清楚“公式”和“命题”间的关系,我没看懂G(n): UnPr( N(n) ) 到 G(g): UnPr( G(g) ) 的转换:用g代n应该得到UnPr( N(g) )。N(g)是一个公式,其实就是G(带一个自由变量的公式),而G(g)则是一个命题。如何从N(g)变到G(g)呢?

    10楼 刘未鹏 2006-10-16 23:42发表 [回复]
    to googol: 转载当然没问题哈:-)

    9楼 googol 2006-10-16 22:49发表 [回复]
    我晕,我终于看明白lambda n.If_Else n==0 1 n*<self>(n-1)了,原来是lambda n.If_Else (n==0) 1 n*<self>(n-1),我一直以为是lambda n.(If_Else n)==(0 1 n*<self>(n-1))或者lambda (n.If_Else n)==(0 1 n*<self>(n-1))

    8楼 googol 2006-10-16 22:40发表 [回复]
    看的头晕,尤其是Y Combinator那段…… 幸亏之前因为自己的兴趣,看过一点点实变函数和泛函,关于公理集合论、无穷和对角线证明有一定了解,不然估计我就直接喷血而死了……(泛函看到了勒贝格积分后,就喷血了……) 此文我想转到我的blog上,不知老大同意否?当然,我会注明出处的。

    7楼 刘未鹏 2006-10-16 18:40发表 [回复]
    to Mr.J: 那个在线版似乎是四川出版社出版的,翻译得不好。呵呵。 不过可以看英文版。

    6楼 WWW 2006-10-16 20:24发表 [回复]
    一段程序(二进制描述),再给它这段程序的输入,God_algo(Santa_algo,Santa_algo),是不是矛盾?? 应该是 一段程序的代码,再给它这段程序的输入。 才会有God_algo(Santa_algo,Santa_algo)

    5楼 Mr. J 2006-10-16 14:35发表 [回复]
    GEB不是有在线版的吗?http://homepage.fudan.edu.cn/~Ayukawa/at/20050606.htm

    4楼 googol 2006-10-16 11:57发表 [回复]
    先留名,回家要仔细研读……

    3楼 Coigne 2006-10-16 11:51发表 [回复]
    不错的文章。 《异璧》确实是本好书,可惜现在很难买到,当了一本电子版,扫描的不清楚,惜哉…

    2楼 farproc 2006-10-16 09:18发表 [回复]
    不错。真想好好学学数学了。 谢谢!

    1楼 曾经念过数学的人 2006-10-16 00:32发表 [回复] [引用] [举报]
    看得出这篇文章花了不少时间和脑力. 哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成 这本书只读了三分之一(不知道为什么没读完),你这篇文章我一定会看完

  3. hrg | | Reply

    前面zqaqcs说:“看到图灵机时,就觉得有问题,但一想:计算机中所有一切都是有限的0和1的序列,从而是可列的(实际上还是有限的),所以是可以用对角线法证明。”
    这绝对是不可能的:我们不妨看看一个两位的二进制序列——00,01,10,11,所谓的对角线只能贯穿其中的两个,必然要漏掉2个!!如果所谓的对角线贯穿的是01,10,那么按康托尔的说法,就可以构造出11,但是11显然在上述序列之中!!

  4. hrg | | Reply

    有限的更不能用对角线法证明:我们不妨看看两位的一个二进制序列——00,01,10,11,所谓的对角线只能贯穿其中的两个,必然要漏掉2个!!

  5. hrg | | Reply

    总之,哥德尔不过是通过构造一个固有矛盾,再嫁祸于公里体系,说它不完全而已。而康托尔所谓的矛盾根本就不存在,因为他的对角线会产生漏项。

  6. hrg | | Reply

    按照康托尔的理论,我想到一个证明(0,1)可数的方法——对于任一自然数n,把“0.” 添加在其前面,就可以构造一个对应的小数,比如“1”对应小数“0.10000……”,对所有自然数如法炮制,则可构造出实数子集[0.1,1);当然,有些小数会有重复,比如“1”和“10”都对应“0.10000……”,但我们只保留一个。这样一来,[0.1,1)就可以与一个自然数的子集,建立一一对应关系。因为自然数集可数,其子集必然可数,从而[0.1,1)也必然可数。如果把[0.1,1)内所有数的第一位小数均减1,可得[0,0.9),它显然可数,则(0,0.1)也必可数。而按照康托尔的理论,有限个可数集的并集仍为可数集,所以(0,1)=(0,0.1)∪[0.1,1)可数。

  7. hrg | | Reply

    我认为康托尔的对角线法实际上也是无效的:因为只有当康托尔的无穷序列是正方矩阵时,他所谓的对角线才是真正的对角线,但是对于十进制小数,每一个数位上有10种可能性,他的序列不可可能是“正方”的!比如,(0,1)内所有的n位小数对应的序列只有n列,但却远远不止n行,而康托尔“对角线”仅能贯穿n行,占总行数的比例很小;当n趋于无穷大时,由上述有限序列就可得到康托尔的无穷序列,但此时康托尔“对角线”贯穿的行数占总行数的比例的极限会是0!也就是说,康托尔“对角线”会漏项,他所构造的数只不过是他所漏掉的无数项中的一个而已。

  8. hrg | | Reply

    我看了下陈波主编的《逻辑学读本》,里面有哥德尔的论文。我认为他的“定理Ⅴ”根本就是个逻辑矛盾:按照该定理,Bew(A)与Bew[Neg(A)]应该是同时成立的,其中Bew(A)表示x是可证公式,Neg(A)表示A的否定,A代表一个较复杂的式子,其具体意义在这里并不重要;而在哥德尔的理论中,“可证”的一定是“真”的,因此该定理实际上意味着“A”与“Neg(A)”同时为“真”,这显然违反了矛盾律!

  9. glare | | Reply

    函数式编程,我已经迫不及待要看SICP了

  10. 卞欣彤 | | Reply

    y combinator 还是没怎么看懂。。爬了一天文后一点猜测:函数式编程应该是用程序表达的公理的推导,所以任何可计算问题都可以用一定函数式程序解决

  11. 武健 | | Reply

    解决了我很多年的几个困惑

  12. Galileo2014 | | Reply

    有点不明白的地方,《《对角线方法——停机问题的深刻含义》》首先说P是"总之P在输入i上的输出跟Mi(i)不一样",对于这个假设,既然P是图灵机,那么P就应该等于M(k),那么P跟Mi(i)不一样在K这个点上肯定是矛盾的,因为P就是M(k),所以我感觉"总之P在输入i上的输出跟Mi(i)不一样"这个对于P的假设就是错误的,就好像是"P是一个兔子,P跟所有的兔子都有一点不同’ 一样,本身就是悖论,P既然是兔子那么P就绝对跟所有兔子中的一只是同一只兔子

  13. LYF | | Reply

    我也同样在这一点上想不通,你现在想通了吗?

  14. zhouleyu.com | | Reply

    我不知道这样说对不对,这么考虑的话,一个Abel有限群的幂运算一定会有极限

  15. Garry | | Reply

    我不知道这样说对不对,这么考虑的话,一个Abel有限群的幂运算一定会有极限

  16. julyrzh | | Reply

    “如果它能够结束,那么Santa_algo算法里面的那个if判断就会成立(因为God_algo(Santa_algo,Santa_algo)将会返回true),从而程序便进入那个包含一个无穷循环while(1);的if分支,于是这个Satan_algo(Satan_algo)调用便永远不会返回(结束)了。

    而如果Satan_algo(Satan_algo)不能结束(停机)呢,则if判断就会失败,从而选择另一个if分支并返回true,即Satan_algo(Satan_algo)又能够返回(停机)。”

    有点蒙 如果它能够结束 那它应该返回true对吧 那这难道不是因为God_algo(Santa_algo,Santa_algo)返回false?
    而如果Satan_algo(Satan_algo)不能结束,就应该是God_algo(Santa_algo,Santa_algo)返回了ture导致进入了无限循环
    是我理解错了 还是LZ写反了?

  17. richard | | Reply

    为什么回复有这么多,难道懂这个的人这么多吗。。。

  18. 芝士--风 | | Reply

    作为丢开数学书本快十年的爱好者,不能说匆忙一遍全部看明白了(实际上很多没有看明白),但却一下子把以前的许多纠结和疑惑解开了,带来的更多的是数学、计算机知识以外的思考(应该还没有上升到哲学这个层次)。推荐不同领域的人都来看看,所谓开卷有益。

  19. bigbrick | | Reply

    世界就是一个圆,起点即终点。

  20. bigbrick | | Reply

    其实也就是老子的相对观念的一种延伸,真同假是相互比较而产生的观念。不存在没有假的完全绝对的真,或是不存在没有真的完全绝对的假。其实说谎者悖论也可以很好地因此解释——没一句真话者即全说真话,反过来听就是了,这同全说真话的人说「我说谎了」是同样的效果。

  21. Wonder皓 | | Reply

    有点意思,虽然不怎么懂…

  22. hillear | | Reply

    我觉得不完备性原理下的世界好悲观啊。。。。就好像你永远都不会知道什么是“真的”。
    我跟我的同学讨论这个问题,他提出了一个想法,如果非要追寻绝对的“真”,就必须找到另一个“真”去证明它,而这另一个“真”又要另一个“真”证明,这样的话,要么你得一直找下去,无限扩大你的理论体系,等于永远不知道“真”,要么你找到了过去的一个“真”作为终点——循环自证你的体系。在这种情况下,你得到的其实是一个小范围内不能证伪的理论体系。这可以等价于在这小范围内找到了真理。
    我跟他说这种情况也太自欺欺人了吧,真理之所以为真理肯定是绝对的啊,怎么可以在这里是对的,在别的地方又不敢说是对的呢?不过说实话,绝对真理又跟不完备性原理抵触。。。。。总之就是一种漂浮在没有尽头、定点、绝对的大海上,只能自立为王的感觉。。。。。。

    • hillear | | Reply

      我又突然想到,在狭义相对论里不就是没有绝对参考系的吗?看待自己的参考系是稳定的,有一个完备自证的真理体系的,设这个体系为A。而从自己的世界出发看待别人的参考系时,他们是变形的,比如时间过的比我们慢、空间整体压缩了,假设这种眼光下的体系为a,而其实别人看待自己的参考系的时候并没有发现什么不同,自己的体系也是A。总的来说就是————从自己的眼光出发,自己的世界真理是A,别人的则不是A,好像真理一套一套似的。————但其实每个人看到的自己的世界都是A。————相对来说,A在每个世界都是不变的。(比如光速不变)

    • R!eF | | Reply

      想起了马克思:

      事物处于永恒运动与发展过程中.

      真理都是相对真理与绝对真理的统一.
      绝对真理寓于相对真理之中,相对真理包含着绝对真理的成分和颗粒.
      绝对真理通过相对真理表现,无数相对真理的总和构成绝对真理.
      真理是由相对真理走向绝对真理的<b>永无止境</b>的过程.

    • 王杰 | | Reply

      所以需要一个上帝啊 [挤眼]

  23. 潇潇雨歇 | | Reply

    有一点表示怀疑,在讲不动点定理时,说因为P的定义丑陋而改写P的定义,总感觉这个解释是不是太牵强了?

  24. godloveson | | Reply

    "计算机是数学家一次失败思考的产物"

  25. 陈威 | | Reply

    我看到了它,却不敢相信它

  26. fy317 | | Reply

    康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线

  27. clover | | Reply

    假设多维空间的存在,这个可以用多维来解释,第四维是时间,那么自己杀死的是另一个平行空间维度的自己,而不是真正过去的自己

  28. qswg | | Reply

    实数集和自然数集无法构成一一对应?!

    我们只需将实数的小数位展开,并且我们假设实数集能够与自然数集一一对应,也就是说假设实数集可列,所以我们把它们与自然数一一对应列出,如下:

    1 a10.a11a12a13…

    2 a20.a21a22a23…

    3 a30.a31a32a33…

    4 …

    5 …

    (注:aij里面的ij是下标)

    现在,我们构造一个新的实数,它的第i位小数不等于aii。也就是说,它跟上面列出的每一个实数都至少有一个对应的小数位不等,也就是说它不等于我们上面列出的所有实数,这跟我们上面假设已经列出了所有实数的说法相矛盾。所以实数集只能是不可列的,即不可与自然数集一一对应!这是对角线方法的最简单应用。

    ———–
    这里用二进制是不行的, 至少要三进制才可以.

  29. qswg | | Reply

    现在我们知道,要证明哥德尔的不完备性定理,只需在假定的形式系统T内表达出一个为真但无法在T内推导出(证明)的命题。于是哥德尔构造了这样一个命题,用自然语言表达就是:命题P说的是“P不可在系统T内证明”(这里的系统T当然就是我们的命题P所处的形式系统了),也就是说“我不可以被证明”,跟著名的说谎者悖论非常相似,只是把“说谎”改成了“不可以被证明”。我们注意到,一旦这个命题能够在T内表达出来,我们就可以得出“P为真但无法在T内推导出来”的结论,从而证明T的不完备性。为什么呢?我们假设T可以证明出P,而因为P说的就是P不可在系统T内证明,于是我们又得到T无法证明出P,矛盾产生,说明我们的假设“T可以证明P”是错误的,根据排中律,我们得到T不可以证明P,而由于P说的正是“T不可证明P”,所以P就成了一个正确的命题,同时无法由T内证明!

    ———
    这中间有逻辑漏洞吧, 你假设 "T可以证明出P" 是说你假设T可以证明出P为真吗? 那如果T可以证明出P为假呢?
    也就是说: 命题P "P不可在系统T内证明" 是一个假命题. 这样似乎就没有矛盾了呀? 因为P本身可以被T证明为假, 而他的描述看上去确实也是个假命题.

  30. Li.Huan | | Reply

    “我们现在来运用康托尔的对角线方法,我们构造一个新的图灵机P,P在1上的输出行为跟M1(1)“不一样”,在2上的输出行为跟M2(2)“不一样”,…总之P在输入i上的输出跟Mi(i)不一样。”这个图灵机或者说这个程序不是包含了无限条语句吗?图灵机可以包含无限条语句吗,或者包含了无限条语句不就不可能停机了吗?

  31. 微风依旧 | | Reply

    又由于G也是个wff,所以它也有自己的编码g。为什么说G也是良构的?为什么说G也可以由符号表中的符号表示?谢谢

  32. ninsun | | Reply

    太……太给力了!多谢这么详细的解释!

  33. zaeneas | | Reply

    抱歉,我还是没有明白伪递归必然存在有不动点

    也就是为什么let f_gen = lambda self. F(self(self))
    或者是 set f_gen=f_gen(f_gen)能够收敛

  34. zaeneas | | Reply

    请问为什么伪递归必然有不动点?
    抱歉挖坟了

    • zaeneas | | Reply

      无视上一post吧,我刚才只看了一半…..

  35. Dreamz | | Reply

    我们注意到,这里的UnPr其实是一个形式化的谓词,它不一定要说“X在T内可证明”,我们可以把它泛化为一个一般化的谓词,P:

    这里“X在T内可证明”是不是应该为“X在T内不可证明”?

  36. victor2100 | | Reply

    太赞啦~~~

  37. frank | | Reply

    “而wff构成的序列本身同样也是由符号表内的符号构成的串。所以我们只需枚举所有的串,对每一个串检查它是否是一个由wff构成的序列(证明),如果是,则记录下这个wff序列(证明)的最后一个wff,也就是它的结论。”

    假设我们能够枚举系统T中所有的wff序列,那对于每一个序列,我们如何来确定wff序列的最后一个wff呢?
    我将wff序列理解成一个连续的字符串。

  38. frank | | Reply

    “如果你足够敏锐,你会发现上面这番推理本身不就是证明吗?其证明的结果不就是P是正确的?然而实际上这番证明是位于T系统之外的,它用到了一个关于T系统的假设“T是一致(无矛盾)的”,这个假设并非T系统里面的内容,所以我们刚才其实是在T系统之外推导出了P是正确的,这跟P不能在T之内推导出来并不矛盾。所以别担心,一切都正常。”

    这段话中:“这个假设并非T系统里面的内容,所以我们刚才其实是在T系统之外推导出了P是正确的”,我觉得这个假设应该是T系统里面的内容,T是一致的是指:不存在一个命题P,P和非P都可以在这个系统中证明。 显然系统T内不会有一个命题p,p和非p都能被证明,所以这个假设也是系统T里面的内容。 而文中所找到的P是在系统T中为真,但无法在系统T内证明的命题,需要在系统外证明得到。
    所以我还觉得“这个假设并非T系统里面的内容,所以我们刚才其实是在T系统之外推导出了P是正确的”这句话并没有因果关系。

  39. czg | | Reply

    关于对角线法有个疑问,假设用对角线法构造出一个x,这个x与实数集合里任何一个实数的“表示”是不同的,但是这个命题不等价于这个x与实数集合里任何一个实数的“值”是不同的。
    因为显然,0.999….和1的表示是不同的,但是他们的值是相同的

  40. Soli | | Reply

    我们有个假设,然后“呔嘞吗啦哄”,从而这个假设是真的。

  41. 杨冬 | | Reply

    因为不可数,所以文章里说了这只是一个启发性的方法,说明了一种与可数性无关的悖论。

    图灵机作者说是可数集呀,并没有说是有限的。

  42. guobo | | Reply

    真的不错的博客
    鲜果订阅你了

    呵呵,很想和你称为朋友。

    真的感觉 一些方法很不错 。

    感谢你的博客!

  43. guobo | | Reply

    鲜果订阅你了
    呵呵

    给我一个豁然开朗的感觉
    真的很希望能和你这样的人一起做点什么,很有想法,加油啊!~

  44. Shawn Chang | | Reply

    But, can we create something that is capable of instinct?

  45. Soloman | | Reply

    关于罗素悖论的对角线方法,漏洞在于很显然所有集合的集合,显然是一个不可数集,所以无法将所有的元素列出。

    所有的图灵机的集合应该不是有限的,而是一个可数无穷集。其实所有可以用有限个字符描述的东西,应该都是可数集。

  46. Sefler | | Reply

    强烈建议作者出书!

  47. Philome | | Reply

    跟我学的压缩映射有些联系呀,可以对比学习么:p

    • haithink | | Reply

      你是说泛函分析吗?

  48. userfriendly | | Reply

    感觉不严谨但算是计算理论和数理逻辑入门通俗教程啊哈!

  49. TLP | | Reply

    “G(n): UnPr( N(n) )

    又由于G也是个wff,所以它也有自己的编码g,当然g是一个自然数,现在我们把g作为G的参数,也就是说,把G里面的自由变量n替换为g,我们于是得到一个真正的命题:

    G(g): UnPr( G(g) )”
    这一步是不是跳步了?
    只能代换得到G(g):UnPr(G)

  50. zqaqcs | | Reply

    不好意思,看到下面,才发现博主已经提到了不可列的问题。

  51. zqaqcs | | Reply

    罗素悖论的对角线方法的证明应该是有问题的:我们无法罗列出所有的集合。
    例如集合族{x|x∈R}是与实数集一一对应的,而实数集是不可列的。也就是无法如
    x1,x2,x3,……,xn,…… 这样列出的。

    看到图灵机时,就觉得有问题,但一想:计算机中所有一切都是有限的0和1的序列,
    从而是可列的(实际上还是有限的),所以是可以用对角线法证明。

  52. Magician | | Reply

    太赞了,我大一的时候看到哥德尔证明的一个简介,还有停机问题时,就觉得这2者太相似了,都是把自己带到自己里面去,只是当时说给同学听他们都不理解,而且我怎么也么想到不动点和contor那去。希望你有收获的时候能继续写出来,像你写的这么详细的读完了收获真的挺大的。

  53. fpga2033 | | Reply

    感谢您的文章:

    我是工科专业的学生,对您论述的问题有过一些科普性质的了解诶

    感谢您的分享!让人看到了奇妙如此的未曾领略过的思想,很美的感受~~~

    继续学习ing

  54. carabbit | | Reply

    读到图灵停机的问题,我想起了一个时间机器的问题。
    一个人如果坐时间机器回到过去杀死了过去的自己,那么过去的自己就不会长成现在的自己,也就是说现在的自己将会不存在。可是现在的自己的确存在过并杀死了过去的自己。一个人又存在又不存在,的确很让人迷惑。

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